mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Application directe du cours

Cauchy-Schwarz en action

Espaces préhilbertiens réels · B. Cauchy-Schwarz et normes · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que pour tous réels $a, b, c$ : $(a + b + c)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ , et préciser le cas d'égalité.

Corrigé

Cauchy-Schwarz dans $R^{3}$ canonique avec $x = (1, 1, 1)$ et $y = (a, b, c)$ :

$(a + b + c)^{2} = ⟨ x, y ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}),$

avec égalité si et seulement si $y$ est colinéaire à $(1, 1, 1)$ , c'est-à-dire $a = b = c$ . (Tout l'art est dans le choix du vecteur auxiliaire $(1, 1, 1)$ — la méthode produit des dizaines d'inégalités, voir la banque.)

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