Cauchy-Schwarz sur mesure : résistances, valeur efficace, énergie minimale

La stratégie. L'inégalité de Cauchy-Schwarz, $⟨x,y{⟩}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires, produit une inégalité dès qu'on lui fournit deux vecteurs. Tout l'art est de les choisir pour que le produit scalaire soit une constante connue et que les deux normes soient les facteurs à minorer ; le cas d'égalité se lit alors sur la colinéarité.

a) Le cas discret, et les résistances. Dans ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique, posons $x=(\sqrt{a_1},\dots ,\sqrt{a_n})$ et $y=(\frac{1}{\sqrt{a_1}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{a_n}})$, ce qui a un sens puisque les $a_i$ sont strictement positifs. Alors $⟨x,y⟩=\sum 1=n$, $\Vert x{\Vert }^2=\sum a_i$ et $\Vert y{\Vert }^2=\sum \frac{1}{a_i}$, et Cauchy-Schwarz s'écrit exactement $$n^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right).$$ Égalité : $y=\lambda x$ (car $x\ne 0$), soit $\frac{1}{\sqrt{a_i}}=\lambda \sqrt{a_i}$, c'est-à-dire $a_i=\frac{1}{\lambda }$ pour tout $i$ : tous les $a_i$ sont égaux ; réciproquement, si tous valent $a$, le produit vaut $na\cdot \frac{n}{a}=n^2$.

Les résistances. En série, $R_s=\sum R_i$ ; en parallèle, $\frac{1}{R_p}=\sum \frac{1}{R_i}$. Donc $\frac{R_s}{R_p}=(\sum R_i)(\sum \frac{1}{R_i})\ge n^2$, soit $R_p\le \frac{R_s}{n^2}$, avec égalité si et seulement si les $n$ résistances sont égales. Contrôle avec $1$, $2$ et $4\Omega$ : $R_s=7\Omega$, $R_p=\frac{4}{7}\approx 0,571\Omega$, et $\frac{R_s}{9}\approx 0,778\Omega$.

b) Moyenne et valeur efficace. Dans $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ muni de $⟨u,v⟩={\int }_a^{b}uv$, prenons les vecteurs $f$ et $1$ : $⟨f,1⟩={\int }_a^{b}f$, $\Vert 1{\Vert }^2=b-a$, d'où $$({\int }_a^{b}f{)}^2\le (b-a){\int }_a^b{f}^2,$$ avec égalité si et seulement si $f$ est colinéaire à la fonction $1$, c'est-à-dire constante. Pour le signal, sur $[0,T]$, divisons par $T^2$ : $⟨s{⟩}^2=\frac{1}{T^2}({\int }_0^{T}s{)}^2\le \frac{1}{T}{\int }_0^T{s}^2=S_{\mathrm{eff}}^2$, d'où $|⟨s⟩|\le S_{\mathrm{eff}}$, avec égalité si et seulement si le signal est constant. Pour un signal sinusoïdal d'amplitude $A$, $⟨s⟩=0$ et $S_{\mathrm{eff}}=\frac{A}{\sqrt{2}}$.

c) Une moyenne et son inverse. Les fonctions $u=\sqrt{f}$ et $v=\frac{1}{\sqrt{f}}$ sont continues, comme composées de $f$, continue et strictement positive, avec la racine carrée et l'inverse. Alors $⟨u,v⟩={\int }_a^{b}1=b-a$, $\Vert u{\Vert }^2={\int }_a^{b}f$ et $\Vert v{\Vert }^2={\int }_a^b\frac{1}{f}$, et Cauchy-Schwarz donne $(b-a{)}^2\le {\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^b\frac{1}{f}$. Égalité si et seulement si $\frac{1}{\sqrt{f}}=\lambda \sqrt{f}$, c'est-à-dire $f$ constante.

d) L'énergie minimale. La dérivée $f^{\prime }$ est continue et ${\int }_0^1{f}^{\prime }=f(1)-f(0)=1$. Appliquons Cauchy-Schwarz à $f^{\prime }$ et $1$ dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ : $$1=({\int }_0^1{f}^{\prime }{)}^2\le {\int }_0^1{1}^2\cdot {\int }_0^1{f}^{\prime 2}={\int }_0^1{f}^{\prime 2}.$$ Égalité : si et seulement si $f^{\prime }$ est colinéaire à $1$, c'est-à-dire constante, égale à $\lambda$ ; alors $\lambda ={\int }_0^1{f}^{\prime }=1$ et, avec $f(0)=0$, $f(t)=t$. Réciproquement $f(t)=t$ donne ${\int }_0^{1}1=1$. Contrôle : $f(t)=t^2$ donne ${\int }_0^{1}4t^2\mathrm{d}t=\frac{4}{3}>1$.

Le point délicat. Le choix des vecteurs est tout le travail : il faut que leur produit scalaire soit une constante connue ($n$, $b-a$, $1$). Et le cas d'égalité ne se devine pas, il se lit sur la colinéarité — y compris dans le d), où il faut encore utiliser les conditions aux bords pour fixer la constante.

Ce que l'exercice installe. Cauchy-Schwarz est une machine à inégalités, et le même geste vaut pour les sommes et pour les intégrales, parce que c'est le même théorème pour deux produits scalaires. Trois lectures physiques : $n$ résistances en parallèle valent au plus le $n^2$-ième de leur montage en série ; la valeur efficace d'un signal majore toujours sa valeur moyenne ; et, parmi les profils qui vont de la hauteur $0$ à la hauteur $1$, celui d'énergie $\int f^{\prime 2}$ minimale est la droite — la corde tendue est droite.