mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Exercice de TD

Cauchy-Schwarz sur mesure : résistances, valeur efficace, énergie minimale

Espaces préhilbertiens réels · B. Cauchy-Schwarz et normes · niveau 2

Énoncé

a) Soient $a_{1}, \dots, a_{n} > 0$ . Montrer que $(\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a _{i}}) \geq n^{2}$ et préciser le cas d'égalité. En déduire que $n$ résistances $R_{1}, \dots, R_{n}$ montées en parallèle ont une résistance équivalente $R_{p} \leq \frac{R _{s}}{n ^{2}}$ , où $R_{s}$ est leur résistance équivalente en série. Cas d'égalité ?

b) Soit $f$ continue sur $[a, b]$ ( $a < b$ ). Montrer que $(\int_{a}^{b} f)^{2} \leq (b - a) \int_{a}^{b} f^{2}$ , avec égalité si et seulement si $f$ est constante. Pour un signal $s$ continu et $T$ -périodique, de valeur moyenne $⟨ s ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s$ et de valeur efficace $S_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s^{2}$ , en déduire $∣⟨ s ⟩∣ \leq S_{eff}$ ; cas d'égalité ?

c) Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a, b]$ . Montrer que $\int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} \frac{1}{f} \geq (b - a)^{2}$ ; cas d'égalité.

d) Soit $f \in C^{1} ([0, 1], R)$ telle que $f (0) = 0$ et $f (1) = 1$ . Montrer que $\int_{0}^{1} f^{'2} \geq 1$ , et déterminer les $f$ pour lesquelles il y a égalité.

Corrigé de la question 1

La stratégie. L'inégalité de Cauchy-Schwarz, $⟨ x, y ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2}$ , avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires, produit une inégalité dès qu'on lui fournit deux vecteurs. Tout l'art est de les choisir pour que le produit scalaire soit une constante connue et que les deux normes soient les facteurs à minorer ; le cas d'égalité se lit alors sur la colinéarité.

a) Le cas discret, et les résistances. Dans $R^{n}$ muni du produit scalaire canonique, posons $x = (a_{1}, \dots, a_{n})$ et $y = (\frac{1}{a _{1}}, \dots, \frac{1}{a _{n}})$ , ce qui a un sens puisque les $a_{i}$ sont strictement positifs. Alors $⟨ x, y ⟩ = \sum 1 = n$ , $∥ x ∥^{2} = \sum a_{i}$ et $∥ y ∥^{2} = \sum \frac{1}{a _{i}}$ , et Cauchy-Schwarz s'écrit exactement $n^{2} \leq (i = 1 \sum n a_{i}) (i = 1 \sum n \frac{1}{a _{i}}) .$ Égalité : $y = λ x$ (car $x \neq = 0$ ), soit $\frac{1}{a _{i}} = λ a_{i}$ , c'est-à-dire $a_{i} = \frac{1}{λ}$ pour tout $i$ : tous les $a_{i}$ sont égaux ; réciproquement, si tous valent $a$ , le produit vaut $na \cdot \frac{n}{a} = n^{2}$ .

Les résistances. En série, $R_{s} = \sum R_{i}$ ; en parallèle, $\frac{1}{R _{p}} = \sum \frac{1}{R _{i}}$ . Donc $\frac{R _{s}}{R _{p}} = (\sum R_{i}) (\sum \frac{1}{R _{i}}) \geq n^{2}$ , soit $R_{p} \leq \frac{R _{s}}{n ^{2}}$ , avec égalité si et seulement si les $n$ résistances sont égales. Contrôle avec $1$ , $2$ et $4 Ω$ : $R_{s} = 7 Ω$ , $R_{p} = \frac{4}{7} \approx 0, 571 Ω$ , et $\frac{R _{s}}{9} \approx 0, 778 Ω$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour b), je pense à Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire $⟨ u, v ⟩ = \int_{a}^{b} uv$ , mais je ne vois pas quels vecteurs prendre : avec $f$ et $f$ , l'inégalité ne dit rien.

Cherche un vecteur $v$ tel que $⟨ f, v ⟩$ soit exactement $\int_{a}^{b} f$ . Lequel convient, et que vaut alors $∥ v ∥^{2}$ ?

Élève

Avec la fonction constante $1$ , on a $⟨ f, 1 ⟩ = \int_{a}^{b} f$ , et $∥ 1 ∥^{2}$ fait apparaître $b - a$ . Je retrouve la forme de l'inégalité demandée.

Oui. Le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz est la colinéarité : que signifie « $f$ colinéaire à $1$ » ? Pour le signal, sur quel intervalle appliques-tu l'inégalité, et par quelle quantité divises-tu pour faire apparaître $⟨ s ⟩$ et $S_{eff}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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