Deux produits scalaires, un seul axiome en jeu

La stratégie. Bilinéarité, symétrie et positivité se lisent sur les formules : tout l'exercice est dans le caractère défini, qui repose chaque fois sur un théorème de l'espace sous-jacent — le nombre de racines d'un polynôme, puis le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle, donc nulle ».

a) Le produit scalaire d'évaluation. Pour chaque entier $k$, l'application $P\mapsto P(k)$ est linéaire ; la formule est donc linéaire en $P$ à $Q$ fixé, et symétrique puisque $P(k)Q(k)=Q(k)P(k)$ : elle est bilinéaire et symétrique. Elle est positive : $⟨P,P⟩={\sum }_{k=0}^{n}P(k{)}^2\ge 0$.

Le caractère défini. Si $⟨P,P⟩=0$, une somme de carrés de réels est nulle, donc chaque carré l'est : $P(0)=P(1)=\cdots =P(n)=0$. Le polynôme $P$ a $n+1$ racines distinctes ; or un polynôme non nul de degré au plus $n$ a au plus $n$ racines. Donc $P=0$. C'est ici, et seulement ici, que sert l'hypothèse $\mathrm{deg}P\le n$.

Sur ${\mathbb{R}}_{n+1}[X]$. Le polynôme $P=X(X-1)\cdots (X-n)$ est de degré $n+1$, donc non nul, et s'annule en $0,1,\dots ,n$ : $⟨P,P⟩=0$. Le caractère défini tombe, et lui seul — les trois autres axiomes restent vrais mot pour mot.

b) Le produit scalaire d'énergie. Les applications $f\mapsto f(0)$, $f\mapsto f^{\prime }$ et l'intégrale sont linéaires : la formule est bilinéaire, et visiblement symétrique. Elle est positive : $⟨f,f⟩=f(0{)}^2+{\int }_0^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t$, somme d'un carré et de l'intégrale d'une fonction positive sur un segment parcouru dans le bon sens.

Le caractère défini. Supposons $⟨f,f⟩=0$. Une somme de deux réels positifs est nulle seulement si chacun l'est : $f(0)=0$ et ${\int }_0^1{f}^{\prime 2}=0$. La fonction $f^{\prime 2}$ est continue — c'est ici que sert l'hypothèse $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ — et positive, d'intégrale nulle : elle est nulle (chapitre sur l'intégration). Donc $f^{\prime }=0$ sur l'intervalle $[0,1]$, $f$ est constante, et cette constante vaut $f(0)=0$. C'est un produit scalaire.

c) Sans le terme $f(0)g(0)$. L'application $(f,g)\mapsto {\int }_0^1{f}^{\prime }{g}^{\prime }$ reste bilinéaire, symétrique et positive, mais la fonction constante $1$, non nulle, vérifie ${\int }_0^1{0}^2=0$ : ce n'est pas un produit scalaire sur $E$. Sur $E_0$, en revanche, le raisonnement du b) s'applique mot pour mot : ${\int }_0^1{f}^{\prime 2}=0$ entraîne $f$ constante, égale à $f(0)=0$. C'est un produit scalaire sur $E_0$. Le terme $f(0)g(0)$, ou la condition $f(0)=0$, sert exactement à fixer la constante que la dérivée ne voit pas.

Contrôle. Pour le produit scalaire du b), $⟨1,1⟩=1$, $⟨X,X⟩={\int }_0^{1}1=1$ et $⟨1,X⟩=1\times 0+{\int }_0^{1}0=0$ : la famille $(1,X)$ est orthonormée, ce qu'elle n'est pour aucun produit scalaire intégral usuel ; et $⟨X,X^2⟩={\int }_0^{1}2t\mathrm{d}t=1$.

Le point délicat. Le caractère défini ne se vérifie jamais « à vue ». Dans le a), c'est le comptage des racines ; dans le b), deux arguments s'enchaînent : une somme de positifs nulle a tous ses termes nuls, puis une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle — et encore faut-il la continuité de $f^{\prime }$ et le fait que $[0,1]$ soit un intervalle pour conclure de $f^{\prime }=0$ à $f$ constante.

Ce que l'exercice installe. Changer l'espace sans changer la formule peut tuer un produit scalaire, et le seul axiome qui meurt est le caractère défini. Le produit scalaire du c) sur $E_0$ est celui de l'énergie élastique : pour une corde tendue fixée en $0$, l'énergie de déformation d'un profil $y$ est proportionnelle à $\int y^{\prime 2}$, c'est-à-dire au carré de sa norme — un point de vue qui fonde la méthode des éléments finis.