Distance à un plan de ℝ³ — exercice corrigé de maths sup (PCSI) (chapitre 16)

Distance à un plan de

R^{3}

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{3}$ euclidien canonique, soit $F = Vect (u_{1}, u_{2})$ avec $u_{1} = (1, 1, 0)$ et $u_{2} = (0, 1, 1)$ . Calculer la distance de $x = (1, 0, 0)$ à $F$ .

Corrigé

Orthonormalisation de Gram-Schmidt : $e_{1} = \frac{u _{1}}{∥ u _{1} ∥} = \frac{1}{2} (1, 1, 0)$ ; puis

$v_{2} = u_{2} - ⟨ e_{1}, u_{2} ⟩ e_{1} = (0, 1, 1) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1, 1, 0) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1), e_{2} = \frac{v _{2}}{∥ v _{2} ∥} = \frac{1}{6} (- 1, 1, 2) .$

Projection : $p_{F} (x) = ⟨ e_{1}, x ⟩ e_{1} + ⟨ e_{2}, x ⟩ e_{2} = \frac{1}{2} (1, 1, 0) + \frac{- 1}{6} (- 1, 1, 2) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ .

Distance : $x - p_{F} (x) = (\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ , d'où

$d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥ = \frac{3}{3} = \frac{1}{3} .$

(Contrôle : $x - p_{F} (x)$ est bien orthogonal à $u_{1}$ et à $u_{2}$ . ✔)

Distance à un plan de R3

Énoncé

Corrigé

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Distance à un plan de $R^{3}$