Distance à un plan de ${\mathbb{R}}^3$

Orthonormalisation de Gram-Schmidt : $e_1=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$ ; puis

$$v_2=u_2-⟨e_1,u_2⟩e_1=(0,1,1)-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right),e_2=\frac{v_2}{\Vert v_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,1,2).$$

Projection : $p_F(x)=⟨e_1,x⟩e_1+⟨e_2,x⟩e_2=\frac{1}{2}(1,1,0)+\frac{-1}{6}(-1,1,2)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$.

Distance : $x-p_F(x)=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, d'où

$$d(x,F)=\Vert x-p_F(x)\Vert =\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

(Contrôle : $x-p_F(x)$ est bien orthogonal à $u_1$ et à $u_2$. ✔)