Gram-Schmidt complet

Étape 1 : $u_1=(1,1,0)$, $\Vert u_1{\Vert }^2=2$.

Étape 2 : $u_2=(1,0,1)-\frac{⟨(1,0,1),u_1⟩}{2}{u}_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)$, $\Vert u_2{\Vert }^2=\frac{3}{2}$.

Étape 3 : avec $⟨(0,1,1),u_1⟩=1$ et $⟨(0,1,1),u_2⟩=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$ :

$$u_3=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)-\frac{1/2}{3/2}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)=\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$$

(Contrôles : $⟨u_3,u_1⟩=-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0$ ✔, $⟨u_3,u_2⟩=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=0$ ✔.) En normalisant :

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0),e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2),e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1).$$