L'angle de deux fonctions

La stratégie : c'est Cauchy-Schwarz qui rend la définition licite, et le calcul intégral qui donne les valeurs.

a) La définition a un sens. L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$, donc le quotient proposé appartient à $[-1,1]$. ⚠️ C'est précisément ce que réclame la fonction $\arccos$, qui n'accepte rien d'autre : sans Cauchy-Schwarz, on écrirait une formule sans objet. Comme $\arccos$ est une bijection de $[-1,1]$ sur $[0,\pi ]$, l'angle $\theta$ existe et est unique.

b) Dans ${\mathbb{R}}^4$. Avec $x=(1,1,1,1)$ et $y=(1,0,0,0)$ :

$$⟨x,y⟩=1,\Vert x\Vert =\sqrt{4}=2,\Vert y\Vert =1,$$

d'où $\cos \theta =\frac{1}{2}$ et $\theta =\frac{\pi }{3}$, soit soixante degrés.

Le calcul se généralise : dans ${\mathbb{R}}^n$, l'angle entre la diagonale $(1,\dots ,1)$ et un axe vaut $\arccos \frac{1}{\sqrt{n}}$, soit $45$ degrés en dimension $2$, $60$ degrés en dimension $4$, et déjà $84,3$ degrés en dimension $100$. En grande dimension, la diagonale est presque orthogonale à chacun des axes — un fait qui déroute l'intuition tirée du plan.

c) Entre $\sin$ et $\cos$. Sur $[0,\pi ]$ :

$$⟨\sin ,\cos ⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\cos t\mathrm{d}t={\left[\frac{{\sin }^{2}t}{2}\right]}_0^{\pi }=0.$$

Les deux fonctions sont donc orthogonales sur $[0,\pi ]$ : l'angle vaut $\frac{\pi }{2}$. (Leurs normes, $\Vert \sin {\Vert }^2=\Vert \cos {\Vert }^2=\frac{\pi }{2}$, n'ont même pas besoin d'être calculées pour conclure.)

⚠️ Sur $[0,\frac{\pi }{2}]$, la réponse est tout autre. On y trouve $⟨\sin ,\cos ⟩=\frac{1}{2}$ et $\Vert \sin {\Vert }^2=\Vert \cos {\Vert }^2=\frac{\pi }{4}$, donc

$$\cos \theta =\frac{1/2}{\pi /4}=\frac{2}{\pi }\approx 0,637,\theta \approx 50,5\text{ degreˊs}.$$

L'orthogonalité n'est pas une propriété des deux fonctions : c'est une propriété du produit scalaire, donc de l'intervalle d'intégration. Changer l'intervalle change la géométrie.

Contrôle numérique. Sur $[0,\pi ]$, la primitive $\frac{{\sin }^{2}t}{2}$ vaut $0$ aux deux bornes : le produit scalaire est nul sans approximation. Sur $[0,\frac{\pi }{2}]$, elle vaut $0$ puis $\frac{1}{2}$ : la différence $\frac{1}{2}$ est bien le produit scalaire annoncé.

Ce que l'exercice installe. Le produit scalaire intégral transporte tout le vocabulaire de la géométrie — angle, orthogonalité, projection — sur des espaces de fonctions. L'orthogonalité de $\sin$ et $\cos$ sur une période est la première pierre des séries de Fourier.