L'orthogonal d'une droite

$(x,y,z)\perp (1,1,1)$ signifie $x+y+z=0$ :

$$F^{\perp }=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$$

— le plan déjà rencontré au chapitre sur les espaces vectoriels ! La décomposition ${\mathbb{R}}^3=F\oplus F^{\perp }$ y était une somme directe parmi d'autres ; elle est en réalité orthogonale : le supplémentaire $F^{\perp }$ est le supplémentaire canonique, celui qui minimise les distances. Le vecteur $(1,1,1)$ est normal au plan.