mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Exercice de TD

La meilleure droite sous une parabole : minimiser, c'est projeter

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On munit $C ([- 1, 1], R)$ du produit scalaire $⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t$ , et l'on note $(P_{n})$ les polynômes de Legendre unitaires de l'exercice 4, vus comme fonctions sur $[- 1, 1]$ .

a) Pour $(a, b) \in R^{2}$ , on pose $I (a, b) = \int_{- 1}^{1} (t^{2} - a t - b)^{2} d t$ . Montrer que $I$ atteint un minimum en un unique couple $(a^{*}, b^{*})$ , que l'on déterminera, ainsi que la valeur du minimum.

b) Montrer que pour tout $(a, b)$ , $I (a, b) = \frac{8}{45} + \frac{2}{3} a^{2} + 2 (b - \frac{1}{3})^{2}$ . Comparer le minimum aux erreurs commises par la tangente à la parabole en $0$ et par la corde qui joint ses points d'abscisses $- 1$ et $1$ .

c) Soit $n \geq 1$ . Montrer que pour tout polynôme unitaire $Q$ de degré $n$ , $\int_{- 1}^{1} Q (t)^{2} d t \geq \int_{- 1}^{1} P_{n} (t)^{2} d t$ , avec égalité si et seulement si $Q = P_{n}$ . Relire le a).

d) En déduire, sans nouveau calcul d'intégrale, le minimum de $\int_{- 1}^{1} (t^{3} - a t^{2} - b t - c)^{2} d t$ pour $(a, b, c) \in R^{3}$ , et le polynôme qui le réalise.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Lire une intégrale de carré comme un carré de norme : minimiser $I$ , c'est chercher la distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie, et le cours dit que le minimum est atteint au projeté orthogonal, et là seulement. Pythagore donne ensuite toute la fonction d'erreur.

a) Le minimum est une distance. Posons $f : t \mapsto t^{2}$ et $F = Vect (1, t)$ , l'espace des fonctions affines sur $[- 1, 1]$ , de dimension $2$ (les fonctions $1$ et $t$ sont libres). Pour tout $(a, b)$ , $I (a, b) = ∥ f - (a t + b) ∥^{2}$ , et $(a, b) \mapsto a t + b$ est une bijection de $R^{2}$ sur $F$ . Le théorème de la distance à un sous-espace de dimension finie dit que $∥ f - g ∥$ , pour $g \in F$ , est minimal en un unique point, le projeté $p_{F} (f)$ , caractérisé par $f - p_{F} (f) ⊥ F$ , c'est-à-dire orthogonal à $1$ et à $t$ . Avec $g = a t + b$ et la parité ( $\int_{- 1}^{1} t = \int_{- 1}^{1} t^{3} = 0$ ) : $\int_{- 1}^{1} (t^{2} - a t - b) d t = \frac{2}{3} - 2 b = 0,$ $\int_{- 1}^{1} (t^{2} - a t - b) t d t = - \frac{2 a}{3} = 0.$ Donc $a^{*} = 0$ , $b^{*} = \frac{1}{3}$ : la meilleure droite est horizontale, à la hauteur $\frac{1}{3}$ , qui est la valeur moyenne de $t^{2}$ sur $[- 1, 1]$ . Le minimum vaut $t^{2} - \frac{1}{3}^{2} = ∥ P_{2} ∥^{2} = \frac{8}{45} \approx 0, 178$ , calculé à l'exercice 4.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour b), je pourrais développer $(t^{2} - a t - b)^{2}$ et intégrer terme à terme, mais le titre dit « minimiser, c'est projeter ». Comment se servir du projeté trouvé au a) ?

Note $p$ le projeté de $f : t \mapsto t^{2}$ sur $F$ et $g : t \mapsto a t + b$ . Écris $f - g$ comme la somme de $f - p$ et d'un autre vecteur : à quels sous-espaces appartiennent ces deux morceaux ?

Élève

$f - p$ est dans $F^{⊥}$ et $p - g$ est dans $F$ . Par Pythagore, $I (a, b) = ∥ f - p ∥^{2} + ∥ p - g ∥^{2}$ , et le premier terme est le minimum trouvé au a).

Oui. Le vecteur $p - g$ est une combinaison de $1$ et de $t$ : quelle propriété de ces deux fonctions permet d'appliquer Pythagore une seconde fois, et que valent $∥ 1 ∥^{2}$ et $∥ t ∥^{2}$ ? Ensuite, quels couples $(a, b)$ décrivent la tangente en $0$ et la corde ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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