La seconde inégalité triangulaire

La stratégie : appliquer deux fois l'inégalité triangulaire, dans les deux sens, puis rassembler dans une valeur absolue.

a) Le premier sens. On écrit $x$ comme la somme de deux vecteurs bien choisis :

$$\Vert x\Vert =\Vert (x-y)+y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert ,$$

par l'inégalité triangulaire du cours. En retranchant $\Vert y\Vert$ :

$$\Vert x\Vert -\Vert y\Vert \le \Vert x-y\Vert .$$

b) Le second sens. Le rôle de $x$ et de $y$ est symétrique : le même calcul avec les rôles échangés donne

$$\Vert y\Vert -\Vert x\Vert \le \Vert y-x\Vert .$$

C'est ici que sert l'homogénéité de la norme : $\Vert y-x\Vert =\Vert -(x-y)\Vert =|-1|\times \Vert x-y\Vert =\Vert x-y\Vert$. Sans elle, les deux inégalités ne porteraient pas sur la même quantité et l'on ne pourrait pas les réunir.

c) La conclusion. Le réel $\Vert x\Vert -\Vert y\Vert$ et son opposé sont tous deux majorés par $\Vert x-y\Vert$ : leur valeur absolue l'est aussi, ce qui est exactement l'inégalité annoncée.

d) Cas d'égalité. Supposons par exemple $\Vert x\Vert \ge \Vert y\Vert$. L'égalité s'écrit alors $\Vert x\Vert =\Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert$ : c'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour les vecteurs $x-y$ et $y$, qui exige qu'ils soient colinéaires de même sens — $y=0$, ou $x-y=\lambda y$ avec $\lambda \ge 0$, c'est-à-dire $x=(1+\lambda )y$. Le cas $\Vert y\Vert \ge \Vert x\Vert$ est symétrique. Il y a égalité si et seulement si l'un des deux vecteurs est un multiple positif ou nul de l'autre : réciproquement, si $x=\mu y$ avec $\mu \ge 0$, les deux membres valent $|\mu -1|\Vert y\Vert$.

Contrôle numérique dans ${\mathbb{R}}^2$ canonique, avec $x=(3,4)$ et $y=(0,1)$ : $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |=|5-1|=4$, tandis que $\Vert x-y\Vert =\Vert (3,3)\Vert =3\sqrt{2}\approx 4,243$ : l'inégalité est stricte, et les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Avec $x=(2,0)$ et $y=(1,0)$, on trouve $|2-1|=1=\Vert (1,0)\Vert$ : égalité, et colinéarité positive.

Ce que l'exercice installe. L'écart entre les normes de deux vecteurs est au plus leur distance : deux vecteurs proches ont des normes proches. C'est l'inégalité qui contrôle une norme par une autre dans toute estimation d'erreur : si une approximation $f$ est à distance au plus $\epsilon$ de $x$, alors $\Vert f\Vert$ est à moins de $\epsilon$ de $\Vert x\Vert$.