Le parallélogramme, une identité qui devient un test

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'identité remarquable du cours, $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2⟨x,y⟩$, qui n'est que la bilinéarité et la symétrie appliquées à $⟨x+y,x+y⟩$ ; et la même avec $-y$ à la place de $y$, $\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-2⟨x,y⟩$.

a) Les diagonales du losange. Par bilinéarité, $⟨x+y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩+⟨y,x⟩-⟨y,y⟩$, et les deux termes croisés se détruisent par symétrie : il reste $\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2$. Sur le parallélogramme construit sur $x$ et $y$, les diagonales sont $x+y$ et $x-y$ : elles sont perpendiculaires si et seulement si $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert$, c'est-à-dire si deux côtés consécutifs, donc tous les côtés, ont la même longueur — si et seulement si c'est un losange.

b) Le parallélogramme et la médiane. En additionnant les deux identités remarquables, les termes $\pm 2⟨x,y⟩$ se détruisent : $$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$$ Sur la figure : les quatre côtés mesurent $\Vert x\Vert$, $\Vert y\Vert$, $\Vert x\Vert$, $\Vert y\Vert$ et les diagonales $\Vert x+y\Vert$ et $\Vert x-y\Vert$ : la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés — et, pour un rectangle, c'est Pythagore.

La médiane. Posons $x=\overrightarrow{AB}$ et $y=\overrightarrow{AC}$. Le milieu $I$ de $[BC]$ vérifie $\overrightarrow{AI}=\frac{x+y}{2}$, et $\overrightarrow{BC}=y-x$. L'identité s'écrit $(2AI{)}^2+B{C}^2=2A{B}^2+2A{C}^2$, soit, en divisant par $2$, $$A{B}^2+A{C}^2=2A{I}^2+\frac{1}{2}B{C}^2.$$

c) La polarisation. En soustrayant les deux identités remarquables au lieu de les ajouter : $\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2=4⟨x,y⟩$, d'où la formule. Le produit scalaire s'exprime à partir des seules normes : deux produits scalaires qui ont la même norme sont égaux.

d) Le test. Les propriétés de $N_1$. $N_1(\lambda x)=|\lambda x_1|+|\lambda x_2|=|\lambda |N_1(x)$ ; $|x_1+y_1|+|x_2+y_2|\le |x_1|+|y_1|+|x_2|+|y_2|$ par l'inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}$, coordonnée par coordonnée ; et une somme de deux valeurs absolues est nulle si et seulement si les deux le sont.

Aucun produit scalaire ne donne $N_1$. Raisonnons par l'absurde : si $N_1$ était la norme associée à un produit scalaire, elle vérifierait l'identité du b), démontrée pour toute norme associée à un produit scalaire. Or, avec $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ : $$N_1(1,1{)}^2+N_1(1,-1{)}^2=4+4=8,2N_1(x{)}^2+2N_1(y{)}^2=2+2=4.$$ Comme $8\ne 4$, aucun produit scalaire n'a $N_1$ pour norme. Pour $N_{\infty }$, les mêmes vecteurs donnent $1+1=2$ contre $4$ : $N_{\infty }$ ne vient d'aucun produit scalaire non plus. Contrôle dans ${\mathbb{R}}^2$ canonique, avec $x=(3,1)$ et $y=(1,4)$ : $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=41+13=54=2\times 10+2\times 17$.

Le point délicat. Le d) ne prouve rien de positif : il utilise une condition nécessaire — toute norme associée à un produit scalaire satisfait l'identité du parallélogramme — pour exclure. Une identité, vraie sans hypothèse dans tout espace préhilbertien, devient un critère de refus dès qu'on la teste sur une « longueur » candidate.

Ce que l'exercice installe. La norme code le produit scalaire : connaître les longueurs, c'est connaître les angles. Et toutes les façons de mesurer les longueurs ne sont pas euclidiennes : la distance du taxi, qui compte les pâtés de maisons, et le maximum des écarts, celui des tolérances en métrologie, échouent au test du parallélogramme.