Le produit scalaire de l'énergie

La stratégie : les trois axiomes, puis un examen séparé des deux morceaux de la formule.

a) Bilinéarité et symétrie. L'application $f\mapsto f(0)$ est linéaire, l'application $f\mapsto f^{\prime }$ est linéaire, et l'intégrale est linéaire : la formule est donc linéaire en $f$ à $g$ fixée. Elle est visiblement inchangée quand on échange $f$ et $g$.

b) Positivité. On a

$$⟨f,f⟩=f(0{)}^2+{\int }_0^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t.$$

Le premier terme est un carré, donc positif ou nul ; le second est l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle orienté dans le bon sens, donc positive ou nulle. La somme l'est aussi.

c) Caractère défini. Supposons $⟨f,f⟩=0$. ⚠️ Une somme de deux quantités positives ou nulles est nulle seulement si chacune l'est — c'est le pivot du raisonnement. On obtient donc à la fois

$$f(0)=0\text{et}{\int }_0^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t=0.$$

La fonction $(f^{\prime }{)}^2$ est continue (car $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$) et positive, d'intégrale nulle : elle est nulle (chapitre sur l'intégration). Donc $f^{\prime }=0$ sur l'intervalle $[0,1]$, donc $f$ est constante, et cette constante vaut $f(0)=0$ : $f$ est la fonction nulle.

C'est bien un produit scalaire.

Sans le terme $f(0)g(0)$, ce n'est plus le cas. La formule $(f,g)\mapsto {\int }_0^1{f}^{\prime }{g}^{\prime }$ reste bilinéaire, symétrique et positive, mais toute fonction constante non nulle est de norme nulle. Le terme $f(0{)}^2$ est exactement ce qui distingue deux fonctions différant d'une constante.

Contrôle numérique. Prenons $f=1$ et $g=X$, c'est-à-dire $g(t)=t$. Alors $⟨1,1⟩=1+{\int }_0^{1}0=1$, $⟨X,X⟩=0+{\int }_0^{1}1=1$ et $⟨1,X⟩=1\times 0+{\int }_0^{1}0\times 1=0$ : la famille $(1,X)$ est orthonormée pour ce produit scalaire, alors qu'elle ne l'est pour aucun des produits scalaires intégraux usuels. On vérifie de même $⟨X,X^2⟩={\int }_0^{1}2t\mathrm{d}t=1$ et $\Vert X^2{\Vert }^2={\int }_0^{1}4t^2\mathrm{d}t=\frac{4}{3}$.

Ce que l'exercice installe. Ce produit scalaire, dit d'énergie, mesure une fonction par sa pente plus sa valeur initiale. C'est celui de la méthode des éléments finis : la « longueur » d'une déformation y est son énergie de déformation, et le terme de bord est la condition initiale.