Le trièdre de Fourier : pourquoi les puissances des harmoniques s'ajoutent

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de linéarisation : $\cos a\cos b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)+\cos (a+b))$, $\sin a\sin b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$, $\sin a\cos b=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b))$ ; et, pour tout entier $m\ne 0$, ${\int }_0^{2\pi }\cos mt\mathrm{d}t=0$, tandis que ${\int }_0^{2\pi }\sin mt\mathrm{d}t=0$ pour tout entier $m$.

a) Orthogonalité et normes. Pour $k\ne l$ (entiers positifs ou nuls), $⟨c_k,c_l⟩=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(\cos (k-l)t+\cos (k+l)t)\mathrm{d}t=0$, car $k-l$ et $k+l$ sont non nuls. De même $⟨s_k,s_l⟩=0$ pour $k\ne l$, et $⟨c_k,s_l⟩=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(\sin (l+k)t+\sin (l-k)t)\mathrm{d}t=0$ sans aucune condition, même pour $k=l$. Les normes : $\Vert c_0{\Vert }^2=2\pi$ ; pour $k\ge 1$, ${\cos }^{2}kt=\frac{1}{2}(1+\cos 2kt)$ donne $\Vert c_k{\Vert }^2=\pi$, et ${\sin }^{2}kt=\frac{1}{2}(1-\cos 2kt)$ donne $\Vert s_k{\Vert }^2=\pi$.

b) Liberté et base orthonormée. Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (cours) ; les $2n+1$ fonctions ont des normes strictement positives : la famille est libre, c'est une base de $T_n$, et $\dim T_n=2n+1$. En divisant chaque vecteur par sa norme, on obtient la base orthonormée $$(\frac{c_0}{\sqrt{2\pi }},\frac{c_1}{\sqrt{\pi }},\frac{s_1}{\sqrt{\pi }},\dots ,\frac{c_n}{\sqrt{\pi }},\frac{s_n}{\sqrt{\pi }}).$$

c) Les coordonnées, puis Pythagore. Prenons le produit scalaire de $f$ avec $c_k$, $k\ge 1$ : par orthogonalité, seul le terme $a_k{c}_k$ survit, et $⟨f,c_k⟩=a_k\Vert c_k{\Vert }^2=\pi a_k$. Pour $k=0$, $⟨f,c_0⟩=\frac{a_0}{2}\Vert c_0{\Vert }^2=\pi a_0$. De même $⟨f,s_k⟩=\pi b_k$. Les coordonnées sont des produits scalaires — et le $\frac{a_0}{2}$ vient de ce que $c_0$ n'a pas la même norme que les autres. Par Pythagore pour une famille orthogonale : $${\int }_0^{2\pi }{f}^2=(\frac{a_0}{2}{)}^{2}2\pi +\sum _{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi ,$$ et, en divisant par $2\pi$, la formule annoncée.

d) Les harmoniques. Changeons de variable, $u=\omega t$ : $\frac{1}{T}{\int }_0^{T}s(t{)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(u{)}^2\mathrm{d}u$, avec $f(u)=s\left(\frac{u}{\omega }\right)=A_0+\sum A_k\cos (ku+{\phi }_k)$. En développant $\cos (ku+{\phi }_k)=\cos {\phi }_k{c}_k(u)-\sin {\phi }_k{s}_k(u)$, on voit que $f\in T_n$, avec $\frac{a_0}{2}=A_0$, $a_k=A_k\cos {\phi }_k$ et $b_k=-A_k\sin {\phi }_k$. Le c) donne $$\frac{1}{T}{\int }_0^T{s}^2=A_0^2+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{A}_k^2({\cos }^2{\phi }_k+{\sin }^2{\phi }_k)=A_0^2+\sum _{k=1}^n\frac{A_k^2}{2}.$$ Chaque harmonique a pour valeur efficace $\frac{A_k}{\sqrt{2}}$ : les carrés des valeurs efficaces s'ajoutent, quelles que soient les phases.

Deux ondes de même fréquence. Ici $f(u)=A\cos u+A\cos (u+\phi )=A(1+\cos \phi )c_1(u)-A\sin \phi s_1(u)$, et le c) donne $\frac{1}{2}{A}^2((1+\cos \phi {)}^2+{\sin }^2\phi )=A^2(1+\cos \phi )$. Pythagore ne s'applique plus parce que les deux ondes ne sont pas orthogonales : $⟨\cos u,\cos (u+\phi )⟩=\pi \cos \phi$, et le terme croisé $2⟨\cdot ,\cdot ⟩$ de l'identité remarquable est le terme d'interférence — constructive pour $\phi =0$ ($2A^2$ au lieu de $A^2$), destructive pour $\phi =\pi$ ($0$).

Le point délicat. Tout tient à ce que l'intervalle est une période entière : sur $[0,\pi ]$, $⟨c_0,s_1⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2\ne 0$. L'orthogonalité n'est pas une propriété des fonctions, c'est une propriété du produit scalaire.

Ce que l'exercice installe. Une famille orthogonale se manipule sans résoudre de système : liberté, coordonnées et norme sont des produits scalaires. C'est l'énoncé du programme de physique sur le filtrage — « le carré de la valeur efficace d'un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques » —, démontré : c'est Pythagore. Et son échec entre deux ondes de même fréquence, ce sont les interférences.