Les polynômes de Legendre : la parité avant le calcul

La stratégie. Avant tout calcul, exploiter une symétrie : l'intervalle $[-1,1]$ est symétrique, et l'intégrale d'une fonction impaire y est nulle. La moitié des produits scalaires de Gram-Schmidt s'annulent a priori, et le reste tient en quelques intégrales de monômes, ${\int }_{-1}^1{t}^{2m}\mathrm{d}t=\frac{2}{2m+1}$.

a) Le produit scalaire. Bilinéarité et symétrie viennent de la linéarité de l'intégrale et de $PQ=QP$ ; la positivité, de ${\int }_{-1}^1{P}^2\ge 0$. Si ${\int }_{-1}^1{P}^2=0$, la fonction $t\mapsto P(t{)}^2$, continue et positive, d'intégrale nulle, est nulle sur $[-1,1]$ : $P$ a une infinité de racines, donc $P=0$.

b) Parités contraires. Si $P$ est pair et $Q$ impair, ou l'inverse, la fonction $t\mapsto P(t)Q(t)$ est impaire, et son intégrale sur le segment centré $[-1,1]$ est nulle : $⟨P,Q⟩=0$.

c) La récurrence. Notons ${\mathcal{H}}_n$ : « pour tout $k\le n$, $P_k$ est unitaire, de degré $k$ et de la parité de $k$, et $\mathrm{Vect}(P_0,\dots ,P_n)={\mathbb{R}}_n[X]$ ». ${\mathcal{H}}_0$ est vraie : $P_0=1$. Supposons ${\mathcal{H}}_{n-1}$. Les termes qui disparaissent : si $k<n$ n'a pas la parité de $n$, $P_k$ et $X^n$ sont de parités contraires, et $⟨X^n,P_k⟩=0$ par le b). Degré : chaque $P_k$ de la somme est de degré $k\le n-1$, donc $P_n=X^n-(\text{polynoˆme de degreˊ}\le n-1)$ est unitaire de degré $n$. Parité : $X^n$ et les $P_k$ qui contribuent ont tous la parité de $n$, et une combinaison linéaire de polynômes de même parité a cette parité. Espace engendré : l'algorithme de Gram-Schmidt conserve les espaces engendrés (cours), donc $\mathrm{Vect}(P_0,\dots ,P_n)=\mathrm{Vect}(1,\dots ,X^n)={\mathbb{R}}_n[X]$. ${\mathcal{H}}_n$ est établie.

d) Les quatre premiers. $P_0=1$, de norme au carré ${\int }_{-1}^{1}1=2$. Puis $⟨X,1⟩=0$ par imparité, donc $P_1=X$, de norme au carré ${\int }_{-1}^1{t}^2=\frac{2}{3}$. Pour $P_2$, seul $P_0$ contribue, avec $⟨X^2,1⟩=\frac{2}{3}$ : $$P_2=X^2-\frac{2/3}{2}=X^2-\frac{1}{3},$$ $$\Vert P_2{\Vert }^2={\int }_{-1}^1(t^4-\frac{2}{3}{t}^2+\frac{1}{9})\mathrm{d}t=\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.$$ Pour $P_3$, seul $P_1$ contribue, avec $⟨X^3,X⟩={\int }_{-1}^1{t}^4=\frac{2}{5}$ : $$P_3=X^3-\frac{2/5}{2/3}X=X^3-\frac{3}{5}X,$$ $$\Vert P_3{\Vert }^2={\int }_{-1}^1(t^6-\frac{6}{5}{t}^4+\frac{9}{25}{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{2}{7}-\frac{12}{25}+\frac{6}{25}=\frac{8}{175}.$$ Contrôle : $⟨P_3,P_1⟩={\int }_{-1}^1(t^4-\frac{3}{5}{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0$.

e) La caractérisation. La famille produite par Gram-Schmidt est orthogonale : $P_n\perp P_k$ pour $k<n$. Comme ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]=\mathrm{Vect}(P_0,\dots ,P_{n-1})$ par le c), $P_n$ est orthogonal à tout ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. Unicité : soit $Q$ unitaire de degré $n$, orthogonal à ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. Les termes en $X^n$ se simplifient dans $Q-P_n$, qui est donc dans ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ ; et $Q-P_n$ est orthogonal à ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, comme différence de deux polynômes qui le sont. Il est donc orthogonal à lui-même : $\Vert Q-P_n{\Vert }^2=0$, et $Q=P_n$.

Le point délicat. La parité n'est une arme que parce que l'intervalle est symétrique : sur $[0,1]$, aucun produit scalaire de Gram-Schmidt ne s'annule a priori. Et l'unicité du e) repose sur un geste qui reviendra : un vecteur orthogonal à un sous-espace qui le contient est nul.

Ce que l'exercice installe. Exploiter une symétrie avant tout calcul. Et une caractérisation qui vaut mieux qu'une formule : $P_n$ est l'unique polynôme unitaire de degré $n$ orthogonal aux degrés inférieurs. C'est elle que les exercices 9 et 10 exploiteront, et qui fera rencontrer ces polynômes, construits ici par l'orthogonalité, avec ceux que la séance sur les polynômes a construits par la formule de Rodrigues.