Meilleure approximation au sens des moindres carrés

Dans $\mathcal{C}([0,1])$ muni de $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}fg$, on cherche la projection orthogonale de $f:t\mapsto t^2$ sur $F={\mathbb{R}}_1[X]$ : le minimum de $\Vert f-g{\Vert }^2$ sur $g\in F$ est atteint en $g=p_F(f)$, caractérisé par $f-g\perp F$, c'est-à-dire orthogonal à $1$ et à $t$ :

$${\int }_0^1(t^2-at-b)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}-b=0,{\int }_0^1(t^2-at-b)t\mathrm{d}t=\frac{1}{4}-\frac{a}{3}-\frac{b}{2}=0.$$

La première donne $b=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}$ ; en reportant : $\frac{1}{4}-\frac{a}{3}-\frac{1}{6}+\frac{a}{4}=\frac{1}{12}-\frac{a}{12}=0$, d'où

$$\boxed{a=1,b=-\frac{1}{6}}(p_F(f)(t)=t-\frac{1}{6}).$$

Minimum : $\Vert f-p_F(f){\Vert }^2=⟨f-p_F(f),f⟩$ (car $f-p_F(f)\perp p_F(f)$), soit

$${\int }_0^1\left(t^2-t+\frac{1}{6}\right)t^2\mathrm{d}t=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{18}=\frac{36-45+10}{180}=\frac{1}{180}.$$

La droite $y=t-\frac{1}{6}$ est la meilleure approximation affine de la parabole sur $[0,1]$ au sens des moindres carrés : c'est le principe de la régression, et de toute l'approximation hilbertienne.