Problème — La quadrature de Gauss

1) L'orthogonalité aux degrés inférieurs. C'est l'exercice 4 : la famille de Gram-Schmidt est orthogonale et $\mathrm{Vect}(P_0,\dots ,P_{n-1})={\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, donc $P_n\perp {\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ ; et $P_n$ est l'unique polynôme unitaire de degré $n$ qui le soit.

2) Les polynômes de Rodrigues sont ceux de Gram-Schmidt. Les dérivées au bord. On a $U_n=(X-1{)}^n(X+1{)}^n$, et $(X+1{)}^n$ ne s'annule pas en $1$ : $1$ est racine de $U_n$ de multiplicité $n$. Par la caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives (chapitre sur les polynômes), $U_n^{(k)}(1)=0$ pour $0\le k\le n-1$ ; de même en $-1$.

Les intégrations par parties. Soit $Q$ un polynôme. Pour $0\le j\le n-1$, une intégration par parties donne $${\int }_{-1}^1{U}_n^{(n-j)}{Q}^{(j)}=[U_n^{(n-j-1)}{Q}^{(j)}{]}_{-1}^1-{\int }_{-1}^1{U}_n^{(n-j-1)}{Q}^{(j+1)},$$ et le crochet est nul, car $n-j-1\le n-1$. Par récurrence sur $j$, ${\int }_{-1}^1{L}_{n}Q=(-1{)}^n{\int }_{-1}^1{U}_n{Q}^{(n)}$. Si $Q\in {\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, $Q^{(n)}=0$ : $⟨L_n,Q⟩=0$.

L'identification. $U_n=X^{2n}+(\text{termes de degreˊ}\le 2n-2)$ ; la dérivée $n$-ième de $X^{2n}$ est $\frac{(2n)!}{n!}{X}^n$, celles des autres termes sont de degré au plus $n-2$ ou nulles. Donc $L_n$ est de degré $n$, de coefficient dominant $\frac{(2n)!}{n!}$, et $\frac{n!}{(2n)!}{L}_n$ est unitaire de degré $n$ et orthogonal à ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ : par l'unicité du 1), $P_n=\frac{n!}{(2n)!}{L}_n$. Les deux polynômes, proportionnels, ont les mêmes racines ; le TD 8 donne alors : $P_n$ a $n$ racines réelles simples, toutes dans $]-1,1[$. (Le TD 8 normalisait autrement, par la valeur $1$ en $1$ ; une constante multiplicative non nulle ne change pas les racines.) Contrôle : $L_2=12X^2-4=12P_2$ et $L_3=120X^3-72X=120P_3$.

3) L'exactitude jusqu'au degré $2n-1$. Soit $P\in {\mathbb{R}}_{2n-1}[X]$. La division euclidienne par $P_n$, de degré $n$, donne $P=P_{n}S+R$ avec $\mathrm{deg}R\le n-1$, et $\mathrm{deg}S=\mathrm{deg}P-n\le n-1$ (ou $S=0$). D'une part, $${\int }_{-1}^{1}P=⟨P_n,S⟩+{\int }_{-1}^{1}R=0+\sum _{i=1}^n{w}_{i}R(x_i),$$ par le 1) puisque $S\in {\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, puis par l'exactitude sur ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. D'autre part, les $x_i$ sont des racines de $P_n$, donc $P(x_i)=R(x_i)$. Ainsi ${\int }_{-1}^{1}P={\sum }_i{w}_{i}P(x_i)$ : la formule est exacte sur ${\mathbb{R}}_{2n-1}[X]$.

L'échec en degré $2n$. Pour $P=P_n^2$, de degré $2n$, ${\sum }_i{w}_i{P}_n(x_i{)}^2=0$, alors que ${\int }_{-1}^1{P}_n^2=\Vert P_n{\Vert }^2>0$. Plus généralement, aucune formule à $n$ points $y_1,\dots ,y_n$, quels que soient les poids, n'est exacte sur ${\mathbb{R}}_{2n}[X]$ : le polynôme $\prod (X-y_i{)}^2$, positif et non nul, a une intégrale strictement positive, et la formule lui attribue $0$. Le degré $2n-1$ est donc le meilleur possible, et Gauss l'atteint. (Que des poids exacts sur ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ existent pour tout $n$ est une question d'interpolation, qui n'est pas au programme de PCSI : on ne l'utilise pas, et les questions 4 et 5 les construisent pour $n=2$ et $n=3$.)

4) Deux points. $P_2=X^2-\frac{1}{3}$ a pour racines $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. L'exactitude sur ${\mathbb{R}}_1[X]$ s'écrit, pour $Q=1$ puis $Q=X$ : $w_1+w_2=2$ et $\frac{w_2-w_1}{\sqrt{3}}=0$, d'où $w_1=w_2=1$. Par le 3), la formule est exacte sur ${\mathbb{R}}_3[X]$ ; vérifions-le : pour $X^2$, $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}={\int }_{-1}^1{t}^2$ ; pour $X^3$, $0=0$. Pour $X^4$ : $\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$, au lieu de ${\int }_{-1}^1{t}^4=\frac{2}{5}$.

5) Trois points. $P_3=X(X^2-\frac{3}{5})$ a pour racines $-\sqrt{3/5}$, $0$, $\sqrt{3/5}$. L'exactitude sur ${\mathbb{R}}_2[X]$, pour $1$, $X$, $X^2$, donne le système $$\{\begin{array}{l}{w}_1+w_2+w_3=2\\ \sqrt{3/5}(w_3-w_1)=0\\ \frac{3}{5}(w_1+w_3)=\frac{2}{3}\end{array}$$ d'où $w_1=w_3=\frac{5}{9}$ et $w_2=2-\frac{10}{9}=\frac{8}{9}$. Par le 3), la formule est exacte sur ${\mathbb{R}}_5[X]$ ; contrôle sur $X^4$ : $2\times \frac{5}{9}\times \frac{9}{25}=\frac{2}{5}$. En degré $6$, elle donne $2\times \frac{5}{9}\times \frac{27}{125}=\frac{6}{25}$, au lieu de $\frac{2}{7}$.

6) Les chiffres. La valeur exacte est $e-e^{-1}\approx 2,350402$.

• Gauss à deux points : $e^{-1/\sqrt{3}}+e^{1/\sqrt{3}}\approx 2,342696$, erreur $7,7\times 10^{-3}$.
• Gauss à trois points : $\frac{5}{9}(e^{-\sqrt{3/5}}+e^{\sqrt{3/5}})+\frac{8}{9}\approx 2,350337$, erreur $6,5\times 10^{-5}$.
• Trapèzes sur $\{-1,1\}$ : $e^{-1}+e\approx 3,086$, erreur $0,74$ ; sur $\{-1,0,1\}$ : $\frac{e^{-1}}{2}+1+\frac{e}{2}\approx 2,543$, erreur $0,19$.

À nombre égal d'évaluations, Gauss gagne un facteur de l'ordre de cent avec deux points, de l'ordre de trois mille avec trois. Même la formule de Simpson, étudiée au TD 13, qui utilise les trois points $-1$, $0$, $1$ et est exacte jusqu'au degré $3$, commet ici une erreur de $1,2\times 10^{-2}$ : Gauss atteint le degré $3$ avec deux points, et le degré $5$ avec trois.

Sur un segment quelconque. Le changement de variable affine $t=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}u$ envoie $[-1,1]$ sur $[a,b]$ et donne $${\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t=\frac{b-a}{2}{\int }_{-1}^{1}g(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}u)\mathrm{d}u\approx \frac{b-a}{2}\sum _{i=1}^n{w}_{i}g(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}{x}_i).$$ Si $g$ est polynomiale de degré au plus $2n-1$, la fonction intégrée en $u$ l'est aussi, de même degré : l'exactitude se transporte. On peut ensuite découper $[a,b]$ en panneaux, comme pour les méthodes composées du TD 13.

Le théorème obtenu — la quadrature de Gauss (Gauss, 1814). Les racines $x_1<\cdots <x_n$ du $n$-ième polynôme de Legendre sont réelles, simples et situées dans $]-1,1[$. Si des poids $w_1,\dots ,w_n$ rendent la formule ${\int }_{-1}^{1}P\approx {\sum }_{i=1}^n{w}_{i}P(x_i)$ exacte sur ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, elle est exacte sur ${\mathbb{R}}_{2n-1}[X]$ ; et aucune formule à $n$ points n'est exacte sur ${\mathbb{R}}_{2n}[X]$.

Ce que le problème installe. L'orthogonalité fabrique une méthode numérique. La séance sur l'intégration a montré que le degré d'exactitude fait l'ordre d'une méthode ; les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson fixent leurs points et n'ajustent que les poids ; Gauss choisit aussi les points, aux racines d'un polynôme orthogonal, et double ainsi le degré d'exactitude — le maximum possible. Le cœur de la preuve est une ligne : dans la division de $P$ par $P_n$, le quotient est de degré trop petit pour « voir » $P_n$, par orthogonalité, et le reste est intégré exactement. C'est la méthode qu'emploient les bibliothèques de calcul scientifique : la fonction leggauss de NumPy renvoie précisément ces nœuds et ces poids.