Produit scalaire ou pas ?

Espaces préhilbertiens réels · A. Produits scalaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles des produits scalaires sur $R^{2}$ ?

$φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}, ψ (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2},$

$χ (x, y) = x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} .$

Corrigé

Les trois sont bilinéaires symétriques (coefficients symétriques). Caractère défini positif :

$φ$ : $φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ : oui.

$ψ$ : $ψ (x, x) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$ , qui est négatif pour $x = (0, 1)$ : non.

$χ$ : $χ (x, x) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ (forme canonique, chapitre 3 !) : oui.

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