Projection sur une droite

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 2

Énoncé

Calculer le projeté orthogonal de $x = (1, 2, 3)$ sur $D = Vect ((1, 1, 1))$ , et la distance $d (x, D)$ .

Corrigé

Avec $u = (1, 1, 1)$ , $∥ u ∥^{2} = 3$ et $⟨ u, x ⟩ = 6$ :

$p_{D} (x) = \frac{⟨ u , x ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u = 2 (1, 1, 1) = (2, 2, 2), x - p_{D} (x) = (- 1, 0, 1),$

$d (x, D) = ∥ (- 1, 0, 1) ∥ = 2 .$

(Contrôle : $(- 1, 0, 1) ⊥ (1, 1, 1)$ ✔. C'est la décomposition $(1, 2, 3) = (- 1, 0, 1) + (2, 2, 2)$ du chapitre 10, exercice 5 — le projecteur « moyenne des coordonnées » était orthogonal sans le dire.)

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