mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Exercice de TD

Supplémentaire orthogonal : la dimension finie est une vraie hypothèse

Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Soient $X \subset Y$ deux parties d'un espace préhilbertien réel $E$ . Montrer que $Y^{⊥} \subset X^{⊥}$ , que $X \subset (X^{⊥})^{⊥}$ , et que $Vect (X)^{⊥} = X^{⊥}$ .

b) On suppose $E$ euclidien et $F$ un sous-espace de $E$ . Montrer que $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

c) Soit $E = R [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$ , et $H = {P \in E : P (0) = 0}$ . Montrer que $H$ est un hyperplan de $E$ , puis que $H^{⊥} = {0}$ (si $Q \in H^{⊥}$ , calculer $⟨ Q, X Q ⟩$ ). En déduire $(H^{⊥})^{⊥} \neq = H$ et $H \oplus H^{⊥} \neq = E$ . Quelle hypothèse du théorème du supplémentaire orthogonal est en défaut ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition $X^{⊥} = {y \in E : \forall x \in X, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ , qui est un sous-espace ; le théorème du supplémentaire orthogonal — si $F$ est de dimension finie, $E = F \oplus F^{⊥}$ , et en dimension finie $n$ , $dim F^{⊥} = n - dim F$ ; le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle, donc nulle ».

a) Les propriétés formelles. Renversement : si $z \in Y^{⊥}$ , $z$ est orthogonal à tout élément de $Y$ , donc à tout élément de $X \subset Y$ : $z \in X^{⊥}$ . Double orthogonal : si $x \in X$ , alors pour tout $y \in X^{⊥}$ , $⟨ x, y ⟩ = 0$ par définition même de $X^{⊥}$ ; donc $x \in (X^{⊥})^{⊥}$ . Sous-espace engendré : $X \subset Vect (X)$ donne, par renversement, $Vect (X)^{⊥} \subset X^{⊥}$ ; réciproquement, si $y \in X^{⊥}$ et $v = \sum λ_{i} x_{i}$ avec les $x_{i}$ dans $X$ , alors $⟨ v, y ⟩ = \sum λ_{i} ⟨ x_{i}, y ⟩ = 0$ par linéarité. Égalité.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) On suppose $E$ euclidien et $F$ un sous-espace de $E$ . Montrer que $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

Élève

Pour b), j'ai l'inclusion $F \subset (F^{⊥})^{⊥}$ par le a). Pour l'autre, je prends $x$ dans $(F^{⊥})^{⊥}$ , mais je ne vois pas comment montrer qu'il est dans $F$ .

Tu es en dimension finie : quelle décomposition de $x$ le théorème du supplémentaire orthogonal te fournit-il ? Écris-la, puis regarde le produit scalaire de $x$ avec sa composante dans $F^{⊥}$ .

Élève

On écrit $x = y + z$ avec $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ . Comme $x \in (F^{⊥})^{⊥}$ , on a $⟨ x, z ⟩ = 0$ , et $⟨ y, z ⟩ = 0$ aussi.

Que vaut alors $⟨ z, z ⟩$ , et qu'en conclus-tu sur $x$ ? Au passage, quelle hypothèse viens-tu d'utiliser, qui tombera en défaut au c) ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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