Supplémentaire orthogonal : la dimension finie est une vraie hypothèse

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 16 — Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt

Énoncé

a) Soient $X \subset Y$ deux parties d'un espace préhilbertien réel $E$ . Montrer que $Y^{⊥} \subset X^{⊥}$ , que $X \subset (X^{⊥})^{⊥}$ , et que $Vect (X)^{⊥} = X^{⊥}$ .

b) On suppose $E$ euclidien et $F$ un sous-espace de $E$ . Montrer que $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

c) Soit $E = R [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$ , et $H = {P \in E : P (0) = 0}$ . Montrer que $H$ est un hyperplan de $E$ , puis que $H^{⊥} = {0}$ (si $Q \in H^{⊥}$ , calculer $⟨ Q, X Q ⟩$ ). En déduire $(H^{⊥})^{⊥} \neq = H$ et $H \oplus H^{⊥} \neq = E$ . Quelle hypothèse du théorème du supplémentaire orthogonal est en défaut ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition $X^{⊥} = {y \in E : \forall x \in X, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ , qui est un sous-espace ; le théorème du supplémentaire orthogonal — si $F$ est de dimension finie, $E = F \oplus F^{⊥}$ , et en dimension finie $n$ , $dim F^{⊥} = n - dim F$ ; le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle, donc nulle ».

a) Les propriétés formelles. Renversement : si $z \in Y^{⊥}$ , $z$ est orthogonal à tout élément de $Y$ , donc à tout élément de $X \subset Y$ : $z \in X^{⊥}$ . Double orthogonal : si $x \in X$ , alors pour tout $y \in X^{⊥}$ , $⟨ x, y ⟩ = 0$ par définition même de $X^{⊥}$ ; donc $x \in (X^{⊥})^{⊥}$ . Sous-espace engendré : $X \subset Vect (X)$ donne, par renversement, $Vect (X)^{⊥} \subset X^{⊥}$ ; réciproquement, si $y \in X^{⊥}$ et $v = \sum λ_{i} x_{i}$ avec les $x_{i}$ dans $X$ , alors $⟨ v, y ⟩ = \sum λ_{i} ⟨ x_{i}, y ⟩ = 0$ par linéarité. Égalité.

b) L'involution en dimension finie. Soit $n = dim E$ . Par le a), $F \subset (F^{⊥})^{⊥}$ . Les dimensions : $dim F^{⊥} = n - dim F$ , puis $dim (F^{⊥})^{⊥} = n - dim F^{⊥} = dim F$ . Un sous-espace inclus dans un autre et de même dimension finie lui est égal : $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

c) Le contre-exemple en dimension infinie. $H$ est un hyperplan : l'application $φ : P \mapsto P (0)$ est une forme linéaire, non nulle puisque $φ (1) = 1$ , et $H$ est son noyau.

$H^{⊥} = {0}$ . Soit $Q \in H^{⊥}$ . Le polynôme $X Q$ s'annule en $0$ , donc $X Q \in H$ , et $⟨ Q, X Q ⟩ = 0$ : $0 = ⟨ Q, X Q ⟩ = \int_{0}^{1} t Q (t)^{2} d t .$ La fonction $t \mapsto t Q (t)^{2}$ est continue et positive sur $[0, 1]$ , d'intégrale nulle : elle est nulle. Donc $Q (t) = 0$ pour tout $t \in] 0, 1]$ : $Q$ a une infinité de racines, $Q = 0$ .

Les conséquences. $(H^{⊥})^{⊥} = {0}^{⊥} = E$ , alors que $H \neq = E$ puisque $1 \in / H$ : l'égalité du b) est fausse ici. Et $H \oplus H^{⊥} = H \neq = E$ : l'hyperplan $H$ n'a pas de supplémentaire orthogonal.

L'hypothèse en défaut. Le théorème du supplémentaire orthogonal exige que le sous-espace soit de dimension finie — pour disposer d'une base orthonormée avec laquelle on construit le projeté. Or $H$ contient la famille libre infinie $(X, X^{2}, X^{3}, \dots)$ : il est de dimension infinie. Ce n'est pas l'espace $E$ qui est en cause, c'est le sous-espace.

Le point délicat. Ne pas confondre « $H$ a un supplémentaire », vrai — $Vect (1)$ convient, puisque tout polynôme s'écrit $P (0) + (P - P (0))$ —, et « $H$ a un supplémentaire orthogonal », faux : $Vect (1)$ n'est pas orthogonal à $H$ , car $⟨ 1, X ⟩ = \frac{1}{2} \neq = 0$ , et aucun autre ne l'est, puisque $H^{⊥}$ est nul.

Ce que l'exercice installe. En dimension finie, l'orthogonal est un dictionnaire parfait : il fait passer des générateurs d'un sous-espace à ses équations, et retour. En dimension infinie, ce dictionnaire peut se déchirer, et la dimension finie du sous-espace, dans le théorème de projection, est une vraie hypothèse, pas une précaution de rédaction.

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