Toute forme linéaire est un produit scalaire : vecteur normal et noyau de Dirichlet

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 16 — Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ , $φ$ une forme linéaire non nulle sur $E$ et $H = Ker φ$ .

a) Montrer que $H^{⊥}$ est une droite. En déduire qu'il existe un unique vecteur $a \in E$ tel que $φ (x) = ⟨ a, x ⟩$ pour tout $x \in E$ , et que $a$ est un vecteur normal à $H$ . Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ , montrer que $a = \sum_{i = 1}^{n} φ (e_{i}) e_{i}$ .

b) Montrer que $d (x, H) = \frac{∣ φ ( x )∣}{∥ a ∥}$ pour tout $x \in E$ , et que le maximum de $φ$ sur la sphère unité ${x : ∥ x ∥ = 1}$ vaut $∥ a ∥$ , atteint en un unique point que l'on précisera.

c) Application. On reprend l'espace $T_{n}$ de l'exercice 5 et sa base orthonormée, et la forme linéaire $φ : f \mapsto f (0)$ . Montrer que le vecteur associé est le noyau de Dirichlet $D_{n} = \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ , c'est-à-dire que $f (0) = \int_{0}^{2 π} f D_{n}$ pour tout $f \in T_{n}$ , et que $D_{n} (t) = \frac{sin ( ( 2 n + 1 ) t /2 )}{2 π sin ( t /2 )}$ pour $t \in] 0, 2 π [$ .

d) En déduire que pour tout $f \in T_{n}$ , $f (0)^{2} \leq \frac{2 n + 1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f^{2}$ , avec égalité si et seulement si $f$ est colinéaire à $D_{n}$ . Calculer la distance de la fonction constante $1$ à l'hyperplan ${f \in T_{n} : f (0) = 0}$ .

Corrigé

La stratégie. Une forme linéaire non nulle a pour noyau un hyperplan ; son orthogonal est une droite ; un vecteur de cette droite, convenablement dilaté, représente la forme par un produit scalaire. Ensuite, tout se lit sur ce vecteur : la distance à l'hyperplan par projection sur la droite, le maximum sur la sphère par Cauchy-Schwarz.

a) Le vecteur qui représente $φ$ . Comme $φ$ est non nulle, $H$ est un hyperplan, de dimension $n - 1$ , et $dim H^{⊥} = n - (n - 1) = 1$ : $H^{⊥}$ est une droite, dirigée par un vecteur $u \neq = 0$ . Comme $H \cap H^{⊥} = {0}$ , $u \in / H$ , donc $φ (u) \neq = 0$ . Posons $a = \frac{φ ( u )}{∥ u ∥ ^{2}} u .$ Tout $x$ s'écrit $x = h + μu$ avec $h \in H$ et $μ \in R$ , puisque $E = H \oplus H^{⊥}$ . Alors $φ (x) = φ (h) + μ φ (u) = μ φ (u)$ , et $⟨ a, x ⟩ = ⟨ a, h ⟩ + μ ⟨ a, u ⟩ = 0 + μ φ (u)$ . Donc $φ (x) = ⟨ a, x ⟩$ pour tout $x$ . Unicité : si $⟨ a, x ⟩ = ⟨ a^{'}, x ⟩$ pour tout $x$ , le choix $x = a - a^{'}$ donne $∥ a - a^{'} ∥^{2} = 0$ . Le vecteur $a$ est non nul et dirige $H^{⊥}$ : c'est un vecteur normal à $H$ . Enfin, en base orthonormée, les coordonnées sont des produits scalaires : $a = \sum_{i} ⟨ e_{i}, a ⟩ e_{i} = \sum_{i} φ (e_{i}) e_{i}$ .

b) La distance et le maximum. Le projeté $p_{H} (x)$ est dans $H$ et $x - p_{H} (x)$ dans $H^{⊥} = Vect (a)$ : écrivons $x - p_{H} (x) = λa$ . En faisant le produit scalaire avec $a$ , et comme $⟨ a, p_{H} (x)⟩ = φ (p_{H} (x)) = 0$ , on obtient $φ (x) = λ ∥ a ∥^{2}$ . Donc $d (x, H) = ∥ x - p_{H} (x)∥ = ∣ λ ∣ ∥ a ∥ = \frac{∣ φ ( x )∣}{∥ a ∥} .$ Le maximum. Pour $∥ x ∥ = 1$ , Cauchy-Schwarz donne $φ (x) = ⟨ a, x ⟩ \leq ∥ a ∥ ∥ x ∥ = ∥ a ∥$ , avec égalité si et seulement si $x$ est colinéaire à $a$ avec un coefficient positif, c'est-à-dire $x = \frac{a}{∥ a ∥}$ : le maximum vaut $∥ a ∥$ , atteint en ce seul point.

c) Le noyau de Dirichlet. L'évaluation $f \mapsto f (0)$ est une forme linéaire sur l'espace euclidien $T_{n}$ , non nulle puisque $c_{0} (0) = 1$ . Avec la base orthonormée de l'exercice 5, et $c_{k} (0) = 1$ , $s_{k} (0) = 0$ : $a = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{c _{0}}{2 π} + k = 1 \sum n \frac{1}{π} \cdot \frac{c _{k}}{π} = \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} k = 1 \sum n c_{k} = D_{n},$ et le a) dit exactement que $f (0) = ⟨ D_{n}, f ⟩ = \int_{0}^{2 π} f D_{n}$ pour tout $f \in T_{n}$ .

La forme close. La formule $2 sin \frac{t}{2} cos k t = sin (k + \frac{1}{2}) t - sin (k - \frac{1}{2}) t$ fait télescoper la somme : $2 sin \frac{t}{2} \sum_{k = 1}^{n} cos k t = sin (n + \frac{1}{2}) t - sin \frac{t}{2}$ . Donc $2 π sin \frac{t}{2} D_{n} (t) = sin \frac{t}{2} (1 + 2 \sum_{k = 1}^{n} cos k t) = sin \frac{( 2 n + 1 ) t}{2}$ , et, pour $t \in] 0, 2 π [$ , $sin \frac{t}{2} \neq = 0$ : on peut diviser.

d) L'inégalité et la distance. Cauchy-Schwarz donne $f (0)^{2} = ⟨ D_{n}, f ⟩^{2} \leq ∥ D_{n} ∥^{2} ∥ f ∥^{2}$ , avec égalité si et seulement si $f$ est colinéaire à $D_{n}$ . Et $∥ D_{n} ∥^{2} = ⟨ D_{n}, D_{n} ⟩ = D_{n} (0)$ , en appliquant le c) à $f = D_{n} \in T_{n}$ : $D_{n} (0) = \frac{1}{2 π} (1 + 2 n)$ . D'où $f (0)^{2} \leq \frac{2 n + 1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f^{2}$ . Par le b), la distance de la fonction $1$ à l'hyperplan $Ker φ$ vaut $\frac{∣ φ ( 1 )∣}{∥ D _{n} ∥} = \frac{2 π}{2 n + 1} .$ Contrôle pour $n = 3$ et $f = 3 + 2 c_{1} - s_{2} + 5 c_{3}$ : $\int_{0}^{2 π} f D_{3} = 10 = f (0)$ , et $∥ D_{3} ∥^{2} = \frac{7}{2 π}$ .

Le point délicat. Il faut la dimension finie pour que $H^{⊥}$ soit une droite et que $E = H \oplus H^{⊥}$ : l'exercice précédent a montré, avec la même forme $P \mapsto P (0)$ mais sur $R [X]$ , un hyperplan dont l'orthogonal est nul — là, aucun vecteur ne représente l'évaluation. Et le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz ne suffit pas pour le maximum : il faut en plus que le coefficient de colinéarité soit positif.

Ce que l'exercice installe. Une forme linéaire, c'est un produit scalaire contre un vecteur — le vecteur normal de son noyau, de coordonnées $φ (e_{i})$ en base orthonormée. Au chapitre sur les fonctions de deux variables, ce vecteur s'appellera le gradient, et le b) dira que sa direction est celle de la plus forte pente. Et le noyau de Dirichlet est, parmi les signaux de $T_{n}$ d'énergie donnée, le plus concentré en $0$ : c'est, à un facteur près, la somme de $2 n + 1$ oscillations de même amplitude et de phases équidistantes — l'amplitude qu'on retrouvera en optique derrière un réseau de $2 n + 1$ fentes.

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