mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Exercice de TD

Toute forme linéaire est un produit scalaire : vecteur normal et noyau de Dirichlet

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 2

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ , $φ$ une forme linéaire non nulle sur $E$ et $H = Ker φ$ .

a) Montrer que $H^{⊥}$ est une droite. En déduire qu'il existe un unique vecteur $a \in E$ tel que $φ (x) = ⟨ a, x ⟩$ pour tout $x \in E$ , et que $a$ est un vecteur normal à $H$ . Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ , montrer que $a = \sum_{i = 1}^{n} φ (e_{i}) e_{i}$ .

b) Montrer que $d (x, H) = \frac{∣ φ ( x )∣}{∥ a ∥}$ pour tout $x \in E$ , et que le maximum de $φ$ sur la sphère unité ${x : ∥ x ∥ = 1}$ vaut $∥ a ∥$ , atteint en un unique point que l'on précisera.

c) Application. On reprend l'espace $T_{n}$ de l'exercice 5 et sa base orthonormée, et la forme linéaire $φ : f \mapsto f (0)$ . Montrer que le vecteur associé est le noyau de Dirichlet $D_{n} = \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ , c'est-à-dire que $f (0) = \int_{0}^{2 π} f D_{n}$ pour tout $f \in T_{n}$ , et que $D_{n} (t) = \frac{sin ( ( 2 n + 1 ) t /2 )}{2 π sin ( t /2 )}$ pour $t \in] 0, 2 π [$ .

d) En déduire que pour tout $f \in T_{n}$ , $f (0)^{2} \leq \frac{2 n + 1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f^{2}$ , avec égalité si et seulement si $f$ est colinéaire à $D_{n}$ . Calculer la distance de la fonction constante $1$ à l'hyperplan ${f \in T_{n} : f (0) = 0}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Une forme linéaire non nulle a pour noyau un hyperplan ; son orthogonal est une droite ; un vecteur de cette droite, convenablement dilaté, représente la forme par un produit scalaire. Ensuite, tout se lit sur ce vecteur : la distance à l'hyperplan par projection sur la droite, le maximum sur la sphère par Cauchy-Schwarz.

a) Le vecteur qui représente $φ$ . Comme $φ$ est non nulle, $H$ est un hyperplan, de dimension $n - 1$ , et $dim H^{⊥} = n - (n - 1) = 1$ : $H^{⊥}$ est une droite, dirigée par un vecteur $u \neq = 0$ . Comme $H \cap H^{⊥} = {0}$ , $u \in / H$ , donc $φ (u) \neq = 0$ . Posons $a = \frac{φ ( u )}{∥ u ∥ ^{2}} u .$ Tout $x$ s'écrit $x = h + μu$ avec $h \in H$ et $μ \in R$ , puisque $E = H \oplus H^{⊥}$ . Alors $φ (x) = φ (h) + μ φ (u) = μ φ (u)$ , et $⟨ a, x ⟩ = ⟨ a, h ⟩ + μ ⟨ a, u ⟩ = 0 + μ φ (u)$ . Donc $φ (x) = ⟨ a, x ⟩$ pour tout $x$ . Unicité : si $⟨ a, x ⟩ = ⟨ a^{'}, x ⟩$ pour tout $x$ , le choix $x = a - a^{'}$ donne $∥ a - a^{'} ∥^{2} = 0$ . Le vecteur $a$ est non nul et dirige $H^{⊥}$ : c'est un vecteur normal à $H$ . Enfin, en base orthonormée, les coordonnées sont des produits scalaires : $a = \sum_{i} ⟨ e_{i}, a ⟩ e_{i} = \sum_{i} φ (e_{i}) e_{i}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je sais que $d (x, H) = ∥ x - p_{H} (x)∥$ , mais je ne connais pas $p_{H} (x)$ : $H$ est un hyperplan dont je n'ai pas de base orthonormée.

Tu n'as pas besoin de $p_{H} (x)$ lui-même. Dans quel sous-espace se trouve le vecteur $x - p_{H} (x)$ , et ce sous-espace, le connais-tu grâce au a) ?

Élève

$x - p_{H} (x)$ est dans $H^{⊥}$ , qui est la droite dirigée par $a$ : je peux écrire $x - p_{H} (x) = λa$ . Il me reste à trouver $λ$ .

Prends le produit scalaire avec $a$ des deux membres : que vaut $⟨ a, p_{H} (x)⟩$ , et quelle équation obtiens-tu pour $λ$ ? Pour le maximum sur la sphère, quelle inégalité du cours majore $⟨ a, x ⟩$ , et quel est son cas d'égalité ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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