Une isométrie conserve les angles

La stratégie : la formule de polarisation. Puisque la norme détermine le produit scalaire, conserver l'une revient à conserver l'autre.

a) $u$ conserve le produit scalaire. La formule de polarisation du cours s'écrit, pour tous vecteurs $a$ et $b$ :

$$⟨a,b⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert a+b{\Vert }^2-\Vert a{\Vert }^2-\Vert b{\Vert }^2\right).$$

Appliquons-la à $a=u(x)$ et $b=u(y)$ :

$$⟨u(x),u(y)⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert u(x)+u(y){\Vert }^2-\Vert u(x){\Vert }^2-\Vert u(y){\Vert }^2\right).$$

⚠️ Point délicat : c'est maintenant que sert la linéarité de $u$, hypothèse cachée dans le mot « endomorphisme » et qu'on oublie parce qu'elle ne figure pas dans l'égalité des normes. Elle donne $u(x)+u(y)=u(x+y)$, et l'hypothèse d'isométrie s'applique alors aux trois normes :

$$⟨u(x),u(y)⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)=⟨x,y⟩.$$

En particulier, $u$ conserve les angles, puisqu'il conserve à la fois les produits scalaires et les normes qui figurent dans leur définition.

b) Image d'une base orthonormée. Soit $(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthonormée de $E$. Alors, pour tous $i$ et $j$ :

$$⟨u(e_i),u(e_j)⟩=⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{i,j}.$$

La famille $(u(e_1),\dots ,u(e_n))$ est donc orthonormée, en particulier orthogonale à vecteurs non nuls, donc libre. Comme elle compte $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, c'est une base orthonormée.

c) Bijectivité. Si $u(x)=0$, alors $\Vert x\Vert =\Vert u(x)\Vert =0$, donc $x=0$ : le noyau est réduit au vecteur nul, $u$ est injectif, donc bijectif puisque $E$ est de dimension finie.

Contrôle numérique. Prenons la rotation d'angle $\frac{\pi }{3}$ dans ${\mathbb{R}}^2$, qui conserve les longueurs. Avec $x=(1,0)$ et $y=(1,2)$, on a $⟨x,y⟩=1$ ; après rotation, $u(x)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ et $u(y)=(\frac{1}{2}-\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2}+1)$, dont le produit scalaire vaut $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}=1$. Les termes en $\sqrt{3}$ se détruisent, exactement comme le prédit le théorème.

⚠️ Contre-épreuve, pour mesurer le poids de la linéarité. Sur $\mathbb{R}$ muni du produit usuel, l'application $f(x)=|x|$ conserve la norme, puisque $|f(x)|=|x|$. Mais $f$ n'est pas linéaire, et elle ne conserve pas le produit scalaire : $f(1)\times f(-1)=1$ alors que $1\times (-1)=-1$. La conclusion tombe dès qu'on retire la linéarité.

Ce que l'exercice installe. Les isométries d'un espace euclidien sont exactement les endomorphismes dont la matrice, dans une base orthonormée, a ses colonnes orthonormées : rotations et symétries orthogonales. La polarisation est l'outil qui traduit « conserver les longueurs » en « conserver toute la géométrie ».