mathématiques (PCSI) · Chapitre 16 · Exercice classique

Une isométrie conserve les angles

Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥$ pour tout $x \in E$ (on dit que $u$ est une isométrie). Montrer que $u$ conserve le produit scalaire, qu'il transforme toute base orthonormée en base orthonormée, et qu'il est bijectif.

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Élève

Je dois montrer que $u$ conserve le produit scalaire, mais l'hypothèse ne parle que de la norme d'un vecteur. J'ai pensé écrire $⟨ u (x), u (y)⟩ = ∥ u (x) ∥ ∥ u (y) ∥ cos θ$ , mais je ne connais pas l'angle.

Ce serait circulaire : la conservation des angles est justement ce que l'on veut obtenir. La norme ne voit qu'un vecteur à la fois, mais rien ne t'empêche de l'évaluer sur un vecteur fabriqué à partir de $x$ et $y$ . Lequel choisirais-tu ?

Élève

Peut-être $x + y$ , pour faire apparaître un terme croisé. Mais l'hypothèse porterait alors sur $u (x + y)$ , alors que je veux parler de $u (x)$ et de $u (y)$ séparément.

Bonne objection. Qu'est-ce que le mot « endomorphisme » te permet d'écrire pour relier ces deux écritures, et quelle relation entre $∥ x + y ∥^{2}$ , $∥ x ∥^{2}$ , $∥ y ∥^{2}$ et $⟨ x, y ⟩$ connais-tu déjà ?

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