Une projection par blocs dans ${\mathbb{R}}^4$

La stratégie : constater que la famille donnée est déjà orthogonale, la normaliser, puis appliquer la formule du projeté.

a) La famille est orthogonale. Avec $u_1=(1,1,0,0)$ et $u_2=(0,0,1,1)$ :

$$⟨u_1,u_2⟩=1\times 0+1\times 0+0\times 1+0\times 1=0.$$

Aucun Gram-Schmidt n'est à faire : les deux vecteurs portent sur des coordonnées disjointes. Leurs normes valent $\Vert u_1\Vert =\Vert u_2\Vert =\sqrt{2}$, d'où la base orthonormée de $F$ :

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0),e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,0,1,1).$$

b) Le projeté. ⚠️ La formule $p_F(x)=\sum ⟨e_i,x⟩e_i$ exige une base orthonormée : appliquée aux $u_i$ bruts, elle donnerait un résultat faux d'un facteur $2$. Avec les $e_i$ :

$$⟨e_1,x⟩=\frac{1+0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},⟨e_2,x⟩=\frac{0+1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

$$p_F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_2=\frac{1}{2}(1,1,0,0)+\frac{1}{2}(0,0,1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$$

c) La distance. Le vecteur d'erreur est

$$x-p_F(x)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),d(x,F)=\Vert x-p_F(x)\Vert =\sqrt{4\times \frac{1}{4}}=1.$$

d) Interprétation. Les éléments de $F$ sont les vecteurs constants sur chacun des deux blocs de coordonnées : $(a,a,b,b)$. Projeter, c'est donc remplacer chaque bloc par sa moyenne : $\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$ pour le premier, $\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$ pour le second. La meilleure approximation par blocs constants est la moyenne par bloc — c'est le principe de l'analyse de la variance.

Contrôle numérique, en deux fois. D'une part, $x-p_F(x)$ doit être orthogonal à $F$ : $⟨x-p_F(x),u_1⟩=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ et $⟨x-p_F(x),u_2⟩=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$. D'autre part, Pythagore doit se vérifier :

$$\Vert x{\Vert }^2=2,\Vert p_F(x){\Vert }^2+\Vert x-p_F(x){\Vert }^2=1+1=2.$$

Ce que l'exercice installe. Quand une famille génératrice est déjà orthogonale, la projection se lit sans calcul matriciel : une somme de contributions indépendantes. C'est pour obtenir cette situation qu'on orthonormalise — et c'est aussi la raison d'être des bases orthonormées.