Vérifier, normaliser

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ canonique, vérifier que $v_{1} = (1, 2, 2)$ et $v_{2} = (2, 1, - 2)$ sont orthogonaux, et compléter $(\frac{v _{1}}{∥ v _{1} ∥}, \frac{v _{2}}{∥ v _{2} ∥})$ en une base orthonormée.

Corrigé

$⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 2 + 2 - 4 = 0$ : orthogonaux. $∥ v_{1} ∥ = ∥ v_{2} ∥ = 3$ , d'où $e_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ , $e_{2} = \frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ .

Un troisième vecteur orthogonal aux deux : on cherche $(x, y, z)$ avec $x + 2 y + 2 z = 0$ et $2 x + y - 2 z = 0$ ; en résolvant (pivot), $v_{3} = (2, - 2, 1)$ convient ( $2 + (- 4) + 2 = 0$ ✔, $4 - 2 - 2 = 0$ ✔), et $∥ v_{3} ∥ = 3$ :

$e_{3} = \frac{1}{3} (2, - 2, 1), (e_{1}, e_{2}, e_{3}) base orthonorm e ˊ e de R^{3} .$

(Famille orthogonale de vecteurs non nuls : libre ; trois vecteurs en dimension 3 : base — le chapitre 10 et ce chapitre travaillent main dans la main.)

Énoncé

Corrigé

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