Deux faux amis

Pour la première, deux points de vue concordent. Télescopique : les sommes partielles valent $\sqrt{N+1}-1\to +\infty$ — la série diverge, car la suite $(\sqrt{n})$ diverge (lien suite-série). Équivalent : la quantité conjuguée donne $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$, Riemann $\alpha =\frac{1}{2}$ : divergence — bien que le terme général tende vers $0$.

Pour la seconde, l'exposant $1+\frac{1}{n}>1$ semble invoquer Riemann... mais il n'est pas constant ! On écrit $n^{1/n}=e^{\frac{\ln n}{n}}\to 1$, donc

$$\frac{1}{n^{1+1/n}}=\frac{1}{n\cdot n^{1/n}}\sim \frac{1}{n}:$$

la série diverge par équivalence avec la série harmonique. Moralité : Riemann exige un exposant fixe ; en cas de doute, revenir à un équivalent.