Divergences

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 17 — Séries numériques · A. Convergence, géométriques, télescopiques

Énoncé

Montrer que $\sum (- 1)^{n}$ diverge, puis que la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge — bien que son terme général tende vers $0$ .

Corrigé

$(- 1)^{n} \neq \to 0$ : divergence grossière.

Pour la série harmonique, le terme tend vers $0$ mais les paquets dyadiques résistent :

$H_{2 N} - H_{N} = n = N + 1 \sum 2 N \frac{1}{n} \geq N \cdot \frac{1}{2 N} = \frac{1}{2} :$

si $H_{N}$ convergeait vers $S$ , le membre de gauche tendrait vers $S - S = 0$ — contradiction. (Ou : $H_{N} \geq ln (N + 1)$ par comparaison série-intégrale.) Moralité : $u_{n} \to 0$ est nécessaire, jamais suffisant.

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