mathématiques (PCSI) · Chapitre 17 · Application directe du cours

Équivalents et Riemann

Séries numériques · B. Séries à termes positifs · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer la nature de : $\sum \frac{1}{n ^{2} + n}$ , $\sum sin \frac{1}{n}$ , $\sum (1 - cos \frac{1}{n})$ .

Trois séries positives : les équivalents concluent (développements limités de l'analyse asymptotique).

$\frac{1}{n ^{2} + n} \sim \frac{1}{n ^{2}} (Riemann α = 2) : converge; sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} (α = 1) : diverge;$

$1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}} : converge .$

(Réflexe : un équivalent en $\frac{c}{n ^{α}}$ , et Riemann tranche — l'analyse asymptotique au service des séries.)