Équivalents et Riemann

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 17 — Séries numériques · B. Séries à termes positifs

Énoncé

Déterminer la nature de : $\sum \frac{1}{n ^{2} + n}$ , $\sum sin \frac{1}{n}$ , $\sum (1 - cos \frac{1}{n})$ .

Trois séries positives : les équivalents concluent (développements limités de l'analyse asymptotique).

$\frac{1}{n ^{2} + n} \sim \frac{1}{n ^{2}} (Riemann α = 2) : converge; sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} (α = 1) : diverge;$

$1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}} : converge .$

(Réflexe : un équivalent en $\frac{c}{n ^{α}}$ , et Riemann tranche — l'analyse asymptotique au service des séries.)

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.