Factorielle contre puissance

La stratégie : aucune équivalence simple ne s'offre — on majore à la main le terme général par une série de Riemann convergente.

a) L'écriture qui décide. Le terme général s'écrit comme un produit de $n$ facteurs :

$$u_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{1\times 2\times \cdots \times n}{n\times n\times \cdots \times n}=\prod _{k=1}^n\frac{k}{n}.$$

b) La majoration. Isolons les deux premiers facteurs et majorons tous les autres par $1$, ce qui est licite car $\frac{k}{n}\le 1$ pour $k\le n$ :

$$u_n=\frac{1}{n}\times \frac{2}{n}\times \prod _{k=3}^n\frac{k}{n}\le \frac{1}{n}\times \frac{2}{n}\times 1=\frac{2}{n^2}(n\ge 2).$$

⚠️ Il faut isoler exactement deux facteurs, ni plus ni moins. Avec un seul, la majoration $u_n\le \frac{1}{n}$ ne prouve rien, puisque la série harmonique diverge. Avec trois, la majoration $u_n\le \frac{6}{n^3}$ serait encore vraie, mais inutilement forte. Deux suffisent, et c'est le nombre minimal qui franchit la frontière de Riemann.

c) Conclusion. La série $\sum \frac{2}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$), les termes de $\sum u_n$ sont positifs et majorés par les siens à partir du rang $2$ : par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, $\sum \frac{n!}{n^n}$ converge.

Contrôle numérique. La majoration est atteinte en $n=3$ : $\frac{3!}{3^3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$ et $\frac{2}{3^2}=\frac{2}{9}$ — l'inégalité est donc exactement optimale à ce rang, ce qui montre qu'elle n'est pas grossière. Pour $n=5$ : $\frac{120}{3125}=0,0384$ contre $\frac{2}{25}=0,08$. La somme de la série vaut environ $1,880$.

Ce que l'exercice installe. Quand ni l'équivalent ni le réflexe « $n^2{u}_n\to 0$ » ne se présentent d'eux-mêmes, on fabrique la majoration. Le procédé « garder quelques facteurs, majorer le reste par $1$ » revient constamment dans l'étude des quotients de factorielles.