Géométrique et télescopique

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 17 — Séries numériques · A. Convergence, géométriques, télescopiques

Énoncé

Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{1}{2 ^{n}}$ et $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}$ .

Corrigé

Géométrique de raison $\frac{1}{2} \in] - 1, 1 [$ : $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ .

Pour la seconde, la décomposition en éléments simples $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ (chapitre sur les polynômes) rend la série télescopique :

$n = 1 \sum N \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{N + 1} N \to \infty 1.$

(La somme finie du calcul algébrique, enfin poussée à l'infini.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.