Géométrique et télescopique

Géométrique de raison $\frac{1}{2}\in ]-1,1[$ : ${\sum }_{n\ge 0}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Pour la seconde, la décomposition en éléments simples $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (chapitre sur les polynômes) rend la série télescopique :

$$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}\underset{N\to \infty }{\to }1.$$

(La somme finie du calcul algébrique, enfin poussée à l'infini.)