L'exposant intercalé, et le tableau de Bertrand

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le critère de domination ; les séries de Riemann ; les croissances comparées : pour tous réels $a$ et $b>0$, $\frac{(\ln n{)}^a}{n^b}\to 0$ et $\frac{n^a}{e^{bn}}\to 0$.

La stratégie. Trouver un exposant $s>1$ tel que $n^s{u}_n\to 0$ : alors $u_n=O\left(\frac{1}{n^s}\right)$. Le réflexe du cours prend $s=2$ ; quand il échoue, on prend $s$ strictement entre $1$ et l'exposant visible.

a) L'exponentielle écrase tout. $n^2\cdot n^{2026}{e}^{-n}=\frac{n^{2028}}{e^n}\to 0$ par croissances comparées : $n^{2026}{e}^{-n}=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, et la série converge — bien que son terme dépasse $10^{5800}$ au rang $2026$ : la nature ne dépend pas des premiers termes.

b) Le réflexe, son échec, son raffinement. Ici $n^2{u}_n=(\ln n{)}^{10}\to +\infty$ : le réflexe échoue, et son échec ne prouve rien — c'est une condition suffisante, pas nécessaire ; conclure à la divergence serait une faute de logique. Visons l'exposant $\frac{3}{2}$ : $$n^{3/2}{u}_n=\frac{(\ln n{)}^{10}}{\sqrt{n}}⟶0,$$ par croissances comparées. Donc $u_n=O\left(n^{-3/2}\right)$, et la série converge par domination (Riemann, $\frac{3}{2}>1$). Contrôle : cette limite nulle est invisible — pour $n=10^{30}$, le quotient vaut encore environ $2474$, et il ne passe sous $1$ que vers $n\approx 1,2\times 10^{39}$. Seul le théorème la voit.

c) Le tableau complet. Si $\alpha >1$, prenons $s=\frac{1+\alpha }{2}$, de sorte que $1<s<\alpha$ : $n^s{u}_n=\frac{(\ln n{)}^{-\beta }}{n^{\alpha -s}}\to 0$ par croissances comparées, quel que soit le signe de $\beta$, puisque $\alpha -s>0$. Donc $u_n=O\left(\frac{1}{n^s}\right)$ avec $s>1$ : la série converge.

Le point délicat. On ne peut pas prendre $s=\alpha$ : $n^{\alpha }{u}_n=(\ln n{)}^{-\beta }$ ne tend pas vers $0$ si $\beta \le 0$. L'exposant strictement intermédiaire sauve l'argument, et il n'existe que parce que $\alpha >1$ strictement.

Si $\alpha <1$ : $n{u}_n=\frac{n^{1-\alpha }}{(\ln n{)}^{\beta }}\to +\infty$, son inverse étant positif et de limite nulle par croissances comparées. À partir d'un certain rang, $n{u}_n\ge 1$, c'est-à-dire $u_n\ge \frac{1}{n}$ : la série diverge par comparaison. Si $\alpha =1$ : c'est le b) de l'exercice 7, convergence si et seulement si $\beta >1$.

	$\beta \le 1$	$\beta >1$
$\alpha <1$	diverge	diverge
$\alpha =1$	diverge	converge
$\alpha >1$	converge	converge

La série converge donc si et seulement si $\alpha >1$, ou $\alpha =1$ et $\beta >1$. Le nom de Bertrand n'est pas au programme ; tout ce qu'on a utilisé l'est.

d) Deux séries complexes. Le module efface signes et phases : $|e^{in}|=|(-1{)}^n|=1$. Le premier module, $\frac{(\ln n{)}^5}{n^{1,1}}$, relève de $\alpha =1,1>1$ (avec $s=1,05$, $n^{1,05}\cdot \frac{(\ln n{)}^5}{n^{1,1}}=\frac{(\ln n{)}^5}{n^{0,05}}\to 0$) ; le second, $\frac{1}{n(\ln n{)}^{3/2}}$, de $\alpha =1$ et $\beta =\frac{3}{2}>1$. Les deux séries des modules convergent : les deux séries sont absolument convergentes, sans qu'on ait regardé leurs signes.

Ce que l'exercice installe. Viser une domination $u_n=O(n^{-s})$ avec un exposant intercalé strictement entre $1$ et l'exposant visible : le logarithme ne pèse rien devant une puissance. Avec la comparaison série-intégrale sur la frontière, on a le tableau complet, et la convergence absolue règle les séries complexes de même module. En physique : un facteur logarithmique ne change pas une loi de puissance.