mathématiques (PCSI) · Chapitre 17 · Exercice de TD

La constante d'Euler : le lien suite-série et la vitesse

Séries numériques · D. Lien suite-série, restes et sommes · niveau 2

Énoncé

On note $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ et $u_{n} = H_{n} - ln n$ pour $n \geq 1$ . Le chapitre sur les suites a établi — c'est un exercice de sa séance de travaux dirigés — que $(u_{n})$ est décroissante et minorée, donc converge ; sa limite $γ \approx 0, 5772$ est la constante d'Euler. On cherche ici ce que la monotonie ne donne pas : un équivalent de l'erreur $u_{n} - γ$ .

a) Montrer que $u_{n} - u_{n + 1} \sim \frac{1}{2 n ^{2}}$ . En déduire, par le lien suite-série, une seconde démonstration de la convergence de $(u_{n})$ , et écrire $u_{n} - γ$ comme le reste d'une série convergente.

b) Montrer que, pour tout $k \geq 1$ , $u_{k} - u_{k + 1} = \int_{k}^{k + 1} (\frac{1}{t} - \frac{1}{k + 1}) d t$ , puis que $\frac{1}{2 ( k + 1 ) ^{2}} \leq u_{k} - u_{k + 1} \leq \frac{1}{2 k ( k + 1 )}$ .

c) En déduire que $\frac{1}{2 ( n + 1 )} \leq u_{n} - γ \leq \frac{1}{2 n}$ pour tout $n \geq 1$ , puis que $H_{n} = ln n + γ + \frac{1}{2 n} + o (\frac{1}{n})$ .

d) L'intervalle $[u_{n} - \frac{1}{2 n}, u_{n} - \frac{1}{2 ( n + 1 )}]$ contient $γ$ : pour quel plus petit $n$ sa longueur est-elle au plus $1 0^{- 2}$ ? au plus $1 0^{- 4}$ ? Combien de termes faudrait-il pour la même précision en approchant $γ$ par $u_{n}$ seul ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le lien suite-série ; les équivalents et les séries de Riemann ; le développement limité de $ln (1 + x)$ ; la croissance de l'intégrale.

La stratégie. Le lien suite-série fait de l'erreur $u_{n} - γ$ le reste d'une série télescopique. Le cours ne permet pas de passer d'un équivalent du terme général à un équivalent du reste : on encadre donc chaque terme entre deux quantités télescopiques, qui se somment exactement.

a) L'équivalent, et la convergence. Par définition, $u_{n} - u_{n + 1} = ln (n + 1) - ln n - \frac{1}{n + 1} = ln (1 + \frac{1}{n}) - \frac{1}{n + 1}$ . Or, quand $n \to + \infty$ , $ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}),$ $\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) .$ Les termes en $\frac{1}{n}$ se compensent : $u_{n} - u_{n + 1} = \frac{1}{2 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}})$ , donc $u_{n} - u_{n + 1} \sim \frac{1}{2 n ^{2}}$ .

Convergence. Ces termes sont positifs à partir d'un certain rang (un équivalent conserve le signe) : par le théorème des équivalents et Riemann, $\sum (u_{n} - u_{n + 1})$ converge, donc aussi son opposée $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ , et, par le lien suite-série, $(u_{n})$ converge — l'existence de $γ$ en une ligne.

Le reste. Pour $N > n$ , la somme télescopique $\sum_{k = n}^{N - 1} (u_{k} - u_{k + 1})$ vaut $u_{n} - u_{N}$ ; quand $N \to + \infty$ , $u_{n} - γ = k = n \sum + \infty (u_{k} - u_{k + 1}) .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

L'écriture intégrale se vérifie en calculant les deux intégrales. Pour l'encadrement, j'ai majoré $\frac{1}{t} - \frac{1}{k + 1}$ par $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ sur $[k, k + 1]$ , mais j'obtiens $\frac{1}{k ( k + 1 )}$ : deux fois trop.

Ta majoration est juste mais trop grossière : elle remplace par une constante une fonction qui s'annule en $t = k + 1$ . Mets $\frac{1}{t} - \frac{1}{k + 1}$ au même dénominateur : quel facteur s'annule en $k + 1$ , et lequel peux-tu encadrer sans perte ?

Élève

J'obtiens $\frac{k + 1 - t}{t ( k + 1 )}$ . Je garde le numérateur, nul en $k + 1$ , et je n'encadre que le dénominateur $t (k + 1)$ pour $t \in [k, k + 1]$ .

C'est la bonne idée. Quel encadrement de $t (k + 1)$ obtiens-tu sur ce segment, et comment intègres-tu ensuite proprement l'encadrement de la fonction, compte tenu du facteur $k + 1 - t$ qui reste ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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