Le théorème d'Olivier

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les sommes partielles $S_N$ ont une limite $S$ ; le principe fondamental des séries positives ; les équivalents ; et, si $(w_{2N})$ et $(w_{2N+1})$ tendent vers $\ell$, alors $(w_n)$ tend vers $\ell$.

La stratégie. Découper la somme en paquets : pour une suite décroissante, un paquet de $N$ termes vaut au moins $N$ fois son dernier terme ; pour une série convergente, un paquet lointain est petit.

a) Le théorème. Pour $N+1\le k\le 2N$, la décroissance donne $u_k\ge u_{2N}$ ; le paquet compte $N$ termes, donc $$0\le N{u}_{2N}\le \sum _{k=N+1}^{2N}{u}_k=S_{2N}-S_N\underset{N\to +\infty }{\to }0,$$ puisque $S_{2N}$ et $S_N$ tendent toutes deux vers $S$. Par encadrement, $2N{u}_{2N}\to 0$. Pour les indices impairs, $u_{2N+1}\le u_{2N}$ donne $0\le (2N+1)u_{2N+1}\le \frac{2N+1}{2N}\cdot 2N{u}_{2N}\to 0$. Les suites extraites d'indices pairs et impairs de $(n{u}_n)$ tendent vers $0$ : $n{u}_n\to 0$, c'est-à-dire $u_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$. C'est le théorème d'Olivier (1827). Sa contraposée est un critère de divergence : si $(u_n)$ est positive et décroissante et si $n{u}_n$ ne tend pas vers $0$, la série diverge.

Le point délicat. La décroissance sert à une seule place, décisive : comparer chaque terme du paquet au dernier. Le même paquet, pour $u_k=\frac{1}{k}$, donnait $H_{2N}-H_N\ge \frac{1}{2}$ et la divergence de la série harmonique : c'est le même argument, lu dans l'autre sens.

b) Sans décroissance, le théorème tombe. Soit $u_n=\frac{1}{n}$ si $n$ est un carré parfait, $u_n=\frac{1}{n^2}$ sinon ; cette suite est positive. Les termes d'indice carré, $n=m^2$, valent $\frac{1}{m^2}$, et les autres au plus $\frac{1}{n^2}$, donc $$S_N\le \sum _{m=1}^{+\infty }\frac{1}{m^2}+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}=2\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}:$$ les sommes partielles sont majorées, la série converge. Pourtant $n{u}_n=1$ pour tout carré $n$ : $(n{u}_n)$ ne tend pas vers $0$. La suite n'est pas décroissante ($u_4=\frac{1}{4}>u_3=\frac{1}{9}$) : sa masse est concentrée sur des indices trop rares pour faire diverger la série.

c) Un exposant qui trompe, une condition qui ne suffit pas. La série $\sum \frac{1}{n^{1+1/n}}$. On écrit $u_n=\frac{1}{n}\cdot n^{-1/n}$, avec $n^{-1/n}=e^{-\frac{\ln n}{n}}\to 1$ puisque $\frac{\ln n}{n}\to 0$ ; donc $n{u}_n\to 1$. Première preuve : $u_n\sim \frac{1}{n}$, série harmonique divergente. Seconde preuve, par Olivier : $u_n=e^{-g(n)}$ avec $g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln x$, et $g^{\prime }(x)=\frac{x+1-\ln x}{x^2}>0$ sur $[1,+\infty [$ (la fonction $x\mapsto x+1-\ln x$ croît, de dérivée $1-\frac{1}{x}$, et vaut $2$ en $1$) : $(u_n)$ décroît, et $n{u}_n\to 1\ne 0$, donc la série diverge. Riemann exige un exposant fixe ; celui-ci tend vers $1$, et trop vite. Contrôle : pour $n=1000$, $n{u}_n=1000^{-1/1000}\approx 0,9931$.

La condition $n{u}_n\to 0$ ne suffit pas. La suite $u_n=\frac{1}{n\ln n}$ ($n\ge 2$) est positive, décroissante, et $n{u}_n=\frac{1}{\ln n}\to 0$. Pourtant la série diverge, et les paquets le montrent encore, cette fois de taille doublée : pour $j\ge 1$, le paquet des indices $2^j+1\le k\le 2^{j+1}$ compte $2^j$ termes, tous au moins égaux au dernier, $\frac{1}{2^{j+1}(j+1)\ln 2}$, donc $$\sum _{k=2^j+1}^{2^{j+1}}\frac{1}{k\ln k}\ge \frac{2^j}{2^{j+1}(j+1)\ln 2}=\frac{1}{2\ln 2}\cdot \frac{1}{j+1}.$$ En réunissant les paquets $j=1,\dots ,J$ : $S_{2^{J+1}}-S_2\ge \frac{1}{2\ln 2}{\sum }_{j=1}^J\frac{1}{j+1}$, qui tend vers $+\infty$ avec $J$. Les sommes partielles ne sont pas majorées : la série diverge. La condition d'Olivier est nécessaire, pas suffisante.

Ce que l'exercice installe. Le paquet $N+1,\dots ,2N$ : pour une suite décroissante, $N$ termes consécutifs valent au moins $N$ fois le dernier. Il donne une condition nécessaire de convergence, dont la contraposée est un critère de divergence, et, en paquets dyadiques, la divergence de $\sum \frac{1}{n\ln n}$ ; sans la monotonie, tout tombe.