mathématiques (PCSI) · Chapitre 17 · Exercice de TD

Passer aux complexes : séries trigonométriques et ondes multiples

Séries numériques · C. Convergence absolue et sommabilité · niveau 2

Énoncé

Soient $r \in [0, 1 [$ et $θ \in R$ .

a) Justifier que la série $\sum r^{n} e^{in θ}$ est absolument convergente, et calculer sa somme. En déduire $n = 0 \sum + \infty r^{n} cos (n θ) = \frac{1 - r cos θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}},$ et, de même, $\sum_{n = 1}^{+ \infty} r^{n} sin (n θ) = \frac{r sin θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}$ .

b) Montrer que $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{c o s ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} cos (sin θ)$ et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{s i n ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} sin (sin θ)$ .

c) Interféromètre de Fabry-Pérot. Une onde d'amplitude complexe $a_{0}$ traverse une lame à faces parallèles. À chaque aller-retour dans la lame, l'amplitude est multipliée par $R e^{i φ}$ , où $R \in] 0, 1 [$ est le coefficient de réflexion en intensité des faces et $φ$ le déphasage dû à un aller-retour. L'amplitude transmise est $A = τ a_{0} \sum_{n \geq 0} (R e^{i φ})^{n}$ , où $τ$ est une constante complexe. Montrer que l'intensité transmise $I = ∣ A ∣^{2}$ vaut $I = \frac{I _{m a x}}{1 + m sin ^{2} ( φ /2 )},$ avec $m = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ et $I_{m a x} = \frac{∣ τ a _{0} ∣ ^{2}}{( 1 - R ) ^{2}}$ (fonction d'Airy).

d) Pour $R = 0, 9$ , calculer $m$ ; déterminer les $φ$ pour lesquels $I \geq \frac{I _{m a x}}{2}$ , et la largeur de ces pics. Que se passe-t-il quand $R \to 1$ ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La série géométrique de raison complexe ; $e^{z} = \sum_{n \geq 0} \frac{z ^{n}}{n !}$ pour $z \in C$ ; $e^{a + ib} = e^{a} e^{ib}$ ; et ce fait : si $\sum z_{n}$ converge vers $Z$ , $\sum Re (z_{n})$ converge vers $Re (Z)$ — les sommes partielles réelles sont les parties réelles $Re (Z_{N})$ , et $∣ Re (Z_{N}) - Re (Z)∣ \leq ∣ Z_{N} - Z ∣ \to 0$ ; de même pour les parties imaginaires.

La stratégie. $cos (n θ) = Re (e^{in θ})$ : une série trigonométrique réelle est la partie réelle d'une série complexe. Si celle-ci est géométrique ou exponentielle, on la somme, et l'on ne sépare parties réelle et imaginaire qu'à la fin.

a) La série géométrique. $∣ r^{n} e^{in θ} ∣ = r^{n}$ , terme d'une série géométrique convergente : la série est absolument convergente. Sa raison $r e^{i θ}$ est de module $r < 1$ ; en multipliant par la quantité conjuguée, $n = 0 \sum + \infty r^{n} e^{in θ} = \frac{1}{1 - r e ^{i θ}} = \frac{1 - r e ^{- i θ}}{( 1 - r e ^{i θ} ) ( 1 - r e ^{- i θ} )} = \frac{1 - r cos θ + i r sin θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}},$ le dénominateur valant $1 - r (e^{i θ} + e^{- i θ}) + r^{2} = 1 - 2 r cos θ + r^{2} \geq (1 - r)^{2} > 0$ . Parties réelle et imaginaire donnent les deux formules (le terme $n = 0$ de la série des sinus est nul). Contrôle : pour $θ = 0$ , on retrouve $\frac{1 - r}{( 1 - r ) ^{2}} = \frac{1}{1 - r}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{c o s ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} cos (sin θ)$ et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{s i n ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} sin (sin θ)$ .

Élève

Pour b), j'ai voulu refaire comme au a) avec $\sum \frac{e ^{in θ}}{n !}$ , mais à cause du $n!$ ce n'est plus une série géométrique.

Le $n!$ au dénominateur doit te rappeler une autre série de référence, valable pour tout complexe $z$ . Peux-tu écrire $e^{in θ}$ comme une puissance $n$ -ième ?

Élève

$e^{in θ} = (e^{i θ})^{n}$ , donc c'est la série de l'exponentielle prise en $z = e^{i θ}$ , et elle converge absolument.

Exactement. Écris $e^{i θ}$ sous forme algébrique : que donne l'exponentielle de ce complexe, et pourquoi as-tu le droit d'en déduire les deux sommes réelles en prenant parties réelle et imaginaire ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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