Passer aux complexes : séries trigonométriques et ondes multiples

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 17 — Séries numériques · C. Convergence absolue et sommabilité

Énoncé

Soient $r \in [0, 1 [$ et $θ \in R$ .

a) Justifier que la série $\sum r^{n} e^{in θ}$ est absolument convergente, et calculer sa somme. En déduire $n = 0 \sum + \infty r^{n} cos (n θ) = \frac{1 - r cos θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}},$ et, de même, $\sum_{n = 1}^{+ \infty} r^{n} sin (n θ) = \frac{r sin θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}$ .

b) Montrer que $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{c o s ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} cos (sin θ)$ et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{s i n ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} sin (sin θ)$ .

c) Interféromètre de Fabry-Pérot. Une onde d'amplitude complexe $a_{0}$ traverse une lame à faces parallèles. À chaque aller-retour dans la lame, l'amplitude est multipliée par $R e^{i φ}$ , où $R \in] 0, 1 [$ est le coefficient de réflexion en intensité des faces et $φ$ le déphasage dû à un aller-retour. L'amplitude transmise est $A = τ a_{0} \sum_{n \geq 0} (R e^{i φ})^{n}$ , où $τ$ est une constante complexe. Montrer que l'intensité transmise $I = ∣ A ∣^{2}$ vaut $I = \frac{I _{m a x}}{1 + m sin ^{2} ( φ /2 )},$ avec $m = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ et $I_{m a x} = \frac{∣ τ a _{0} ∣ ^{2}}{( 1 - R ) ^{2}}$ (fonction d'Airy).

d) Pour $R = 0, 9$ , calculer $m$ ; déterminer les $φ$ pour lesquels $I \geq \frac{I _{m a x}}{2}$ , et la largeur de ces pics. Que se passe-t-il quand $R \to 1$ ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La série géométrique de raison complexe ; $e^{z} = \sum_{n \geq 0} \frac{z ^{n}}{n !}$ pour $z \in C$ ; $e^{a + ib} = e^{a} e^{ib}$ ; et ce fait : si $\sum z_{n}$ converge vers $Z$ , $\sum Re (z_{n})$ converge vers $Re (Z)$ — les sommes partielles réelles sont les parties réelles $Re (Z_{N})$ , et $∣ Re (Z_{N}) - Re (Z)∣ \leq ∣ Z_{N} - Z ∣ \to 0$ ; de même pour les parties imaginaires.

La stratégie. $cos (n θ) = Re (e^{in θ})$ : une série trigonométrique réelle est la partie réelle d'une série complexe. Si celle-ci est géométrique ou exponentielle, on la somme, et l'on ne sépare parties réelle et imaginaire qu'à la fin.

a) La série géométrique. $∣ r^{n} e^{in θ} ∣ = r^{n}$ , terme d'une série géométrique convergente : la série est absolument convergente. Sa raison $r e^{i θ}$ est de module $r < 1$ ; en multipliant par la quantité conjuguée, $n = 0 \sum + \infty r^{n} e^{in θ} = \frac{1}{1 - r e ^{i θ}} = \frac{1 - r e ^{- i θ}}{( 1 - r e ^{i θ} ) ( 1 - r e ^{- i θ} )} = \frac{1 - r cos θ + i r sin θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}},$ le dénominateur valant $1 - r (e^{i θ} + e^{- i θ}) + r^{2} = 1 - 2 r cos θ + r^{2} \geq (1 - r)^{2} > 0$ . Parties réelle et imaginaire donnent les deux formules (le terme $n = 0$ de la série des sinus est nul). Contrôle : pour $θ = 0$ , on retrouve $\frac{1 - r}{( 1 - r ) ^{2}} = \frac{1}{1 - r}$ .

b) La série exponentielle. $\frac{e ^{in θ}}{n !} = \frac{( e ^{i θ} ) ^{n}}{n !}$ : c'est la série de l'exponentielle en $z = e^{i θ}$ , absolument convergente. Donc $n = 0 \sum + \infty \frac{e ^{in θ}}{n !} = exp (e^{i θ}) = e^{c o s θ} e^{i s i n θ} = e^{c o s θ} (cos (sin θ) + i sin (sin θ)),$ et l'on sépare parties réelle et imaginaire. Contrôle : pour $θ = π$ , la première somme est $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} = e^{- 1}$ , et la formule donne $e^{- 1} cos 0$ .

c) La fonction d'Airy. La raison $R e^{i φ}$ est de module $R < 1$ : $A = \frac{τ a _{0}}{1 - R e ^{i φ}}$ et, par le calcul du a), $I = ∣ A ∣^{2} = \frac{∣ τ a _{0} ∣ ^{2}}{∣ 1 - R e ^{i φ} ∣ ^{2}} = \frac{∣ τ a _{0} ∣ ^{2}}{1 - 2 R cos φ + R ^{2}} .$ Avec $1 - cos φ = 2 sin^{2} \frac{φ}{2}$ , on fait apparaître $(1 - R)^{2}$ : $1 - 2 R cos φ + R^{2} = (1 - R)^{2} + 2 R (1 - cos φ) = (1 - R)^{2} + 4 R sin^{2} \frac{φ}{2} = (1 - R)^{2} (1 + m sin^{2} \frac{φ}{2}),$ d'où la formule annoncée. L'intensité vaut $I_{m a x}$ quand $φ \in 2 π Z$ — toutes les ondes transmises sont en phase —, et son minimum est $\frac{I _{m a x}}{1 + m}$ .

d) Des pics fins. Pour $R = 0, 9$ : $m = \frac{3 , 6}{0 , 01} = 360$ . Puis $I \geq \frac{I _{m a x}}{2} ⟺ m sin^{2} \frac{φ}{2} \leq 1 ⟺ sin \frac{φ}{2} \leq \frac{1}{360} \approx 0, 0527.$ Écrivons $φ = 2 p π + ψ$ , avec $p \in Z$ et $∣ ψ ∣ \leq π$ : $sin \frac{φ}{2} = sin \frac{ψ}{2}$ , et sur $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ la valeur absolue du sinus croît avec celle de l'angle. La condition s'écrit $∣ ψ ∣ \leq 2 arcsin \frac{1}{360}$ : autour de chaque multiple de $2 π$ , un pic de largeur $4 arcsin \frac{1}{360} \approx 0, 211$ rad, pour des pics distants de $2 π \approx 6, 28$ rad — le rapport, environ $30$ , est la finesse de l'interféromètre. Entre les pics, l'intensité tombe à $\frac{I _{m a x}}{361}$ .

Quand $R \to 1$ , $m \to + \infty$ et la largeur est équivalente à $\frac{4}{m} = \frac{2 ( 1 - R )}{R} \to 0$ , car $arcsin u \sim u$ en $0$ (l'arc sinus est dérivable en $0$ , de dérivée $1$ ) ; pour $R = 0, 9$ , cet équivalent donne déjà $0, 2108$ rad. Les pics deviennent infiniment fins : l'interféromètre ne transmet que des longueurs d'onde très précises, d'où son usage en spectroscopie.

Ce que l'exercice installe. Une série trigonométrique réelle est la partie réelle d'une série complexe absolument convergente : on somme dans $C$ , on ne revient dans $R$ qu'à la fin. C'est la notation complexe des physiciens, poussée à l'infini : une infinité d'ondes régulièrement déphasées forme une série géométrique, dont les interférences à deux ondes ne gardent que deux termes.

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