Sommes liées à l'exponentielle

Séries numériques · D. Lien suite-série, restes et sommes · niveau 2

Énoncé

Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{n !}$ et $n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2}}{n !}$ .

Tout se ramène à $e = \sum \frac{1}{n !}$ par simplification des factorielles :

$n \geq 1 \sum \frac{n}{n !} = n \geq 1 \sum \frac{1}{( n - 1 )!} = e .$

Pour $n^{2}$ , on écrit $n^{2} = n (n - 1) + n$ :

$n \geq 0 \sum \frac{n ^{2}}{n !} = n \geq 2 \sum \frac{1}{( n - 2 )!} + n \geq 1 \sum \frac{1}{( n - 1 )!} = e + e = 2 e .$

(Toutes ces séries sont absolument convergentes : les décalages d'indices, opérés sur les sommes partielles, sont licites.)