Un télescopage déguisé

La stratégie : factoriser le dénominateur, décomposer en éléments simples, et reconnaître un télescopage.

a) Décomposition. On factorise $4n^2-1=(2n-1)(2n+1)$, puis on cherche la décomposition en éléments simples. La différence des deux dénominateurs valant $2$, on trouve

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).$$

Vérification immédiate : le membre de droite vaut $\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4n^2-1}=\frac{1}{4n^2-1}$.

b) Télescopage. Posons $v_n=\frac{1}{2n-1}$. Le terme général est alors $\frac{1}{2}(v_n-v_{n+1})$ : ⚠️ ce n'est pas un saut de deux rangs, mais un télescopage ordinaire dans la suite des inverses des entiers impairs. D'où

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}(v_1-v_{N+1})=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right).$$

c) Passage à la limite. Comme $\frac{1}{2N+1}\to 0$ :

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}.$$

Contrôle numérique. La formule donne $S_5=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{5}{11}\approx 0,4545$ ; la somme directe $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}$ vaut exactement la même chose. Pour $N=200$, la formule donne $\frac{200}{401}\approx 0,49875$ : la convergence vers $\frac{1}{2}$ est franche, et le reste vaut exactement $\frac{1}{2(2N+1)}$.

Ce que l'exercice installe. Toute fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en facteurs du premier degré distincts se décompose en éléments simples, et la décomposition révèle presque toujours un télescopage. C'est le seul procédé du programme qui donne la valeur d'une somme infinie, et non sa seule nature — les autres séries calculables sont les géométriques et celles issues de l'exponentielle.