Dérivée selon un vecteur

$\nabla f=(y,x)$, donc $\nabla f(2,1)=(1,2)$ :

$$D_{u}f(a)=⟨(1,2),\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)⟩=\frac{3}{\sqrt{2}},D_{v}f(a)=⟨(1,2),\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)⟩=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

En se déplaçant selon $u$, $f$ croît (taux $\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,12$) ; selon $v$, elle décroît. Le maximum sur toutes les directions serait $\Vert \nabla f(a)\Vert =\sqrt{5}\approx 2,24$, atteint dans la direction du gradient : $u$ en est proche, sans l'égaler.