Dérivée selon un vecteur

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 18 — Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient

Énoncé

Soit $f (x, y) = x y$ . Calculer la dérivée de $f$ au point $a = (2, 1)$ selon le vecteur unitaire $u = \frac{1}{2} (1, 1)$ , puis selon $v = \frac{1}{2} (1, - 1)$ . Interpréter.

Corrigé

$\nabla f = (y, x)$ , donc $\nabla f (2, 1) = (1, 2)$ :

$D_{u} f (a) = ⟨ (1, 2), \frac{1}{2} (1, 1) ⟩ = \frac{3}{2}, D_{v} f (a) = ⟨ (1, 2), \frac{1}{2} (1, - 1) ⟩ = - \frac{1}{2} .$

En se déplaçant selon $u$ , $f$ croît (taux $\frac{3}{2} \approx 2, 12$ ) ; selon $v$ , elle décroît. Le maximum sur toutes les directions serait $∥\nabla f (a) ∥ = 5 \approx 2, 24$ , atteint dans la direction du gradient : $u$ en est proche, sans l'égaler.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.