Étude complète d'un point critique

Fonctions de deux variables · D. Extremums · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer les points critiques de $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 7$ , et leur nature.

$\nabla f = (2 x - 2, 2 y - 4) = (0, 0) ⟺ (x, y) = (1, 2) :$

unique point critique. La forme canonique (le calcul algébrique, toujours lui) tranche sa nature :

$f (x, y) = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 2 \geq 2 = f (1, 2) :$

$(1, 2)$ est un minimum global, de valeur $2$ . (La surface est le bol $z = x^{2} + y^{2}$ translaté : le gradient nul a trouvé son fond.)