Gradient et ligne de niveau

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 18 — Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient

Énoncé

Vérifier sur $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ et le point $(3, 4)$ que le gradient est orthogonal à la ligne de niveau passant par ce point.

Corrigé

La ligne de niveau est le cercle $x^{2} + y^{2} = 25$ , paramétré par $γ (t) = (5 cos t, 5 sin t)$ , qui passe en $(3, 4)$ pour $cos t_{0} = \frac{3}{5}$ , $sin t_{0} = \frac{4}{5}$ . On a $\nabla f (3, 4) = (6, 8)$ , et le vecteur tangent vaut $γ^{'} (t_{0}) = (- 5 sin t_{0}, 5 cos t_{0}) = (- 4, 3)$ :

$⟨ (6, 8), (- 4, 3) ⟩ = - 24 + 24 = 0. ✓$

Le gradient $(6, 8)$ est porté par le rayon : il pointe radialement (la plus forte montée du « bol » $x^{2} + y^{2}$ ), perpendiculairement au cercle de niveau — exactement la figure du cours.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.