La plus forte pente

$\nabla T=(-2x,-4y)$, donc $\nabla T(1,1)=(-2,-4)$ : la croissance maximale a lieu dans la direction du gradient,

$$u=\frac{\nabla T(1,1)}{\Vert \nabla T(1,1)\Vert }=\frac{1}{\sqrt{20}}(-2,-4)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,-2),$$

avec un taux $\Vert \nabla T(1,1)\Vert =2\sqrt{5}\approx 4,47$ degrés par unité de distance. Attention : cette direction ne pointe pas vers l'origine, bien que l'origine soit le sommet de la « colline » thermique — l'angle entre les deux vaut $\arccos (3/\sqrt{10})\approx 18,4^{\circ }$. Le gradient donne la plus forte pente locale ; il ne vise le sommet que lorsque les lignes de niveau sont des cercles, alors qu'ici ce sont des ellipses. À l'opposé, $-u$ est la direction de refroidissement le plus rapide.