Le drone et la ligne de niveau

La stratégie : la règle de la chaîne sous sa forme géométrique — la variation le long du chemin est le produit scalaire du gradient par la vitesse.

a) La position et la vitesse à l'instant $0$.

$$\gamma (0)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0),{\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,2\cos 2t),{\gamma }^{\prime }(0)=(0,2).$$

Le drone passe par le point $(1,0)$ en montant verticalement à la vitesse $2$.

b) Le gradient en ce point.

$$\nabla P(x,y)=\left(-2x{e}^{-x^2-y^2},-2y{e}^{-x^2-y^2}\right),\nabla P(1,0)=\left(-\frac{2}{e},0\right).$$

Le gradient est horizontal et pointe vers l'origine : la pression augmente quand on se rapproche du centre.

c) La dérivée mesurée. La règle de la chaîne donne

$$(P\circ \gamma {)}^{\prime }(0)=⟨\nabla P(\gamma (0)),{\gamma }^{\prime }(0)⟩=⟨\left(-\frac{2}{e},0\right),(0,2)⟩=0.$$

d) Interprétation. La vitesse du drone est orthogonale au gradient : à cet instant précis, il se déplace le long d'une ligne de niveau de la pression — ici le cercle de rayon $1$. Il traverse la « carte des pressions » parallèlement aux isobares, et son capteur n'enregistre aucune variation instantanée.

⚠️ Attention à ne pas surinterpréter ce zéro. Il ne signifie pas que la pression est constante autour de $t=0$, mais seulement que sa variation est nulle au premier ordre. La dérivée seconde vaut $-\frac{6}{e}\approx -2,21$, strictement négative : l'instant $t=0$ est en réalité un maximum local de la pression mesurée. Le drone effleure le cercle de rayon $1$ par l'extérieur : $\Vert \gamma (t){\Vert }^2=1-{\sin }^{2}t+{\sin }^{2}2t=1+3t^2+o(t^2)$, donc il s'en écarte de part et d'autre, et la pression y est bien maximale puisqu'elle décroît avec la distance au centre.

Contrôle numérique. $P(\gamma (0))=e^{-1}=0,36788$, tandis que $P(\gamma (0,1))=P(\gamma (-0,1))=0,35718$. La valeur est plus grande à l'instant $0$ que de part et d'autre : c'est bien un maximum, et la symétrie des deux valeurs confirme que la dérivée première est nulle.

Ce que l'exercice installe. La formule $(f\circ \gamma {)}^{\prime }=⟨\nabla f(\gamma ),{\gamma }^{\prime }⟩$ est la clé de lecture de tout le chapitre : le signe de ce produit scalaire dit si le chemin monte, descend, ou longe une courbe de niveau. Toute la géométrie du gradient tient dans l'angle entre deux vecteurs.