Les coordonnées polaires

On applique la composée à deux variables avec $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ :

$$\frac{\partial F}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial \theta }=-r\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+r\cos \theta \frac{\partial f}{\partial y}$$

(dérivées partielles de $f$ évaluées en $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$). Remarquer : $\frac{\partial F}{\partial r}=⟨\nabla f,u_r⟩$ avec $u_r=(\cos \theta ,\sin \theta )$ — la dérivée radiale —, et $\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \theta }$ est la dérivée selon le vecteur orthoradial : le gradient se décompose dans le repère polaire. C'est le calcul de référence pour toutes les EDP à symétrie circulaire.