Les fonctions radiales

La stratégie : une équivalence, donc deux implications. Le sens direct est la règle de la chaîne ; le sens réciproque est le théorème « dérivée nulle sur un intervalle » du chapitre sur la dérivabilité.

a) Le calcul préliminaire. Appliquons la règle de dérivation d'une composée à deux variables, avec $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin \theta$, en figeant $r$ :

$$\frac{\partial F}{\partial \theta }(r,\theta )=-r\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos \theta ,r\sin \theta )+r\cos \theta \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos \theta ,r\sin \theta ).$$

En posant $u_{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$, le vecteur unitaire orthoradial, cela s'écrit

$$\frac{\partial F}{\partial \theta }=r⟨\nabla f,u_{\theta }⟩.$$

b) Sens direct. Supposons $f$ radiale. Fixons $r>0$. Tous les points $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, quand $\theta$ varie, décrivent le cercle de rayon $r$ ; sur ce cercle $f$ est constante, donc la fonction $\theta \mapsto F(r,\theta )$ est constante. Sa dérivée est nulle : $\frac{\partial F}{\partial \theta }=0$.

c) Sens réciproque. Supposons $\frac{\partial F}{\partial \theta }=0$ partout, et fixons $r>0$. La fonction $\theta \mapsto F(r,\theta )$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée nulle. ⚠️ Le théorème « dérivée nulle donc constante » exige un intervalle — ici $\mathbb{R}$ tout entier, donc l'hypothèse est satisfaite. La fonction est donc constante, disons égale à $c(r)$.

Il reste à conclure sur $f$ : tout point $m$ du cercle de rayon $r$ s'écrit $m=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ pour un certain $\theta$, donc $f(m)=F(r,\theta )=c(r)$. La valeur de $f$ ne dépend que de $r$ : $f$ est radiale.

d) Lecture géométrique. L'égalité $\frac{\partial F}{\partial \theta }=r⟨\nabla f,u_{\theta }⟩$ dit que $f$ est radiale si et seulement si son gradient n'a aucune composante orthoradiale, c'est-à-dire si et seulement si le gradient est partout radial. C'est le théorème « le gradient est orthogonal aux lignes de niveau » dans le cas où les lignes de niveau sont les cercles.

Contrôle numérique. Pour $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$, on a $F(r,\theta )=e^{-r^2}$, où $\theta$ ne figure pas : la dérivée est nulle, et le gradient $-2e^{-r^2}(x,y)$ est bien radial. Pour $f(x,y)=x$, en revanche, $F(r,\theta )=r\cos \theta$ et $\frac{\partial F}{\partial \theta }=-r\sin \theta$, non nul dès que $\theta$ n'est pas multiple de $\pi$ : la fonction n'est pas radiale, et le critère le voit.

Ce que l'exercice installe. Les coordonnées polaires transforment une symétrie géométrique en une équation : « invariant par rotation » devient « une dérivée partielle nulle ». C'est le point de départ de l'étude de toutes les équations aux dérivées partielles à symétrie circulaire — chaleur dans un disque, vibration d'une membrane.