mathématiques (PCSI) · Chapitre 18 · Exercice d'entraînement

Les fonctions radiales

Fonctions de deux variables · C. Règle de la chaîne · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, et $F(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ pour $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$. Montrer que $f$ est radiale — c'est-à-dire constante sur chaque cercle centré à l'origine — si et seulement si $\frac{\partial F}{\partial \theta }=0$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.