Optimisation concrète

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 18 — Fonctions de deux variables · D. Extremums

Énoncé

Une boîte parallélépipédique sans couvercle doit avoir un volume de $32$ litres. Quelles dimensions minimisent la surface de matériau ?

Corrigé

Dimensions $x, y$ (base) et $h$ (hauteur), avec $x y h = 32$ , donc $h = \frac{32}{x y}$ . La surface (fond $+$ quatre faces) :

$S (x, y) = x y + 2 x h + 2 y h = x y + \frac{64}{y} + \frac{64}{x} (x, y > 0 : un ouvert) .$

Points critiques :

$\frac{\partial S}{\partial x} = y - \frac{64}{x ^{2}} = 0, \frac{\partial S}{\partial y} = x - \frac{64}{y ^{2}} = 0 ⟹ y = \frac{64}{x ^{2}}, x = \frac{64}{y ^{2}} = \frac{x ^{4}}{64} ⟹ x^{3} = 64 :$

$x = 4$ , puis $y = 4$ et $h = \frac{32}{16} = 2$ . C'est le seul point critique, et $S \to + \infty$ au bord du domaine ( $x$ ou $y \to 0$ ou $\to \infty$ ) : c'est bien le minimum global,

$S (4, 4) = 16 + 16 + 16 = 48 dm^{2}, bo ı ˆ te 4 \times 4 \times 2$

— base carrée, hauteur moitié du côté. (Tout problème d'optimisation à contrainte simple se ramène ainsi à un point critique en deux variables : c'est le quotidien de l'ingénieur.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.