Optimisation concrète

Dimensions $x,y$ (base) et $h$ (hauteur), avec $xyh=32$, donc $h=\frac{32}{xy}$. La surface (fond $+$ quatre faces) :

$$S(x,y)=xy+2xh+2yh=xy+\frac{64}{y}+\frac{64}{x}(x,y>0:\text{un ouvert}).$$

Points critiques :

$$\frac{\partial S}{\partial x}=y-\frac{64}{x^2}=0,\frac{\partial S}{\partial y}=x-\frac{64}{y^2}=0⟹y=\frac{64}{x^2},x=\frac{64}{y^2}=\frac{x^4}{64}⟹x^3=64:$$

$x=4$, puis $y=4$ et $h=\frac{32}{16}=2$. C'est le seul point critique, et $S\to +\infty$ au bord du domaine ($x$ ou $y\to 0$ ou $\to \infty$) : c'est bien le minimum global,

$$S(4,4)=16+16+16=48{\text{ dm}}^2,\text{boıˆte }4\times 4\times 2$$

— base carrée, hauteur moitié du côté. (Tout problème d'optimisation à contrainte simple se ramène ainsi à un point critique en deux variables : c'est le quotidien de l'ingénieur.)