mathématiques (PCSI) · Chapitre 18 · Application directe du cours

Plan tangent et approximation linéaire

Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ . Donner l'équation du plan tangent à la surface $z = f (x, y)$ au point $(1, 2)$ , et utiliser l'approximation linéaire pour estimer $f (1, 1; 1, 9)$ .

Corrigé

$\nabla f = (2 x, 2 y)$ , donc $\nabla f (1, 2) = (2, 4)$ et $z_{0} = 5$ :

$plan tangent : z = 5 + 2 (x - 1) + 4 (y - 2) .$

Approximation avec $h = 0, 1$ et $k = - 0, 1$ :

$f (1, 1; 1, 9) \approx 5 + 2 (0, 1) + 4 (- 0, 1) = 4, 8 (valeur exacte : 1, 21 + 3, 61 = 4, 82) .$

Erreur $0, 02$ : c'est le $o (∥ (h, k) ∥)$ — quadratique ici, comme pour les $DL_{1}$ de l'analyse asymptotique.

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