Règle de la chaîne

Chaîne : $\nabla f=(2xy,x^2)$ et ${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$, d'où

$$(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=⟨\nabla f(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩=2\cos t\sin t(-\sin t)+{\cos }^{2}t(\cos t)={\cos }^{3}t-2\cos t{\sin }^{2}t.$$

Directement : $g(t)={\cos }^{2}t\sin t$, et $g^{\prime }(t)=-2\cos t\sin t\cdot \sin t+{\cos }^{2}t\cdot \cos t$ — le même résultat. ✔ (La chaîne évite de composer d'abord : indispensable quand $f$ n'est pas explicite.)