Règle de la chaîne

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 18 — Fonctions de deux variables · C. Règle de la chaîne

Énoncé

Soient $f (x, y) = x^{2} y$ et $γ (t) = (cos t, sin t)$ . Calculer $(f \circ γ)^{'} (t)$ de deux façons : par la règle de la chaîne, puis directement.

Corrigé

Chaîne : $\nabla f = (2 x y, x^{2})$ et $γ^{'} (t) = (- sin t, cos t)$ , d'où

$(f \circ γ)^{'} (t) = ⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t) ⟩ = 2 cos t sin t (- sin t) + cos^{2} t (cos t) = cos^{3} t - 2 cos t sin^{2} t .$

Directement : $g (t) = cos^{2} t sin t$ , et $g^{'} (t) = - 2 cos t sin t \cdot sin t + cos^{2} t \cdot cos t$ — le même résultat. ✔ (La chaîne évite de composer d'abord : indispensable quand $f$ n'est pas explicite.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.