Un col

$$\nabla f=\left(3x^2-3y,3y^2-3x\right)=(0,0)⟺y=x^2\text{ et }x=y^2,$$

$$\text{d’ouˋ}x=x^4⟹x\in \{0,1\}:$$

deux points critiques, $(0,0)$ et $(1,1)$.

En $(0,0)$ : le long de l'axe des $x$, $f(x,0)=x^3$ change de signe en $0$ — ni minimum ni maximum : point selle.

En $(1,1)$ ($f(1,1)=-1$) : posons $x=1+h$, $y=1+k$ et développons :

$$f(1+h,1+k)+1=3h^2+3k^2-3hk+h^3+k^3=\underset{\text{forme canonique }\ge c(h^2+k^2)}{\underbrace{3{\left(h-\frac{k}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}{k}^2}}+\underset{o(h^2+k^2)}{\underbrace{h^3+k^3}}:$$

au voisinage de $(1,1)$, le terme quadratique (défini positif) domine les termes cubiques : $f(1+h,1+k)>-1$ pour $(h,k)\ne 0$ assez petit — minimum local (mais pas global : $f(x,0)=x^3\to -\infty$). Le duo gradient $+$ forme canonique fait toute l'étude.