Une boule ouverte est un ouvert

La stratégie : exhiber explicitement le rayon, et c'est l'inégalité triangulaire qui le certifie.

a) Le rayon qui convient. Soit $m\in B(a,r)$, c'est-à-dire $\Vert m-a\Vert <r$. Posons

$$\rho =r-\Vert m-a\Vert .$$

⚠️ C'est ici, et nulle part ailleurs, que sert l'inégalité stricte de la définition : elle donne $\rho >0$, donc un vrai rayon. Avec une boule fermée, un point du bord donnerait $\rho =0$, et il n'y aurait aucune boule à proposer.

b) La vérification. Montrons que $B(m,\rho )\subset B(a,r)$. Soit $p\in B(m,\rho )$, donc $\Vert p-m\Vert <\rho$. L'inégalité triangulaire donne

$$\Vert p-a\Vert \le \Vert p-m\Vert +\Vert m-a\Vert <\rho +\Vert m-a\Vert =r.$$

Donc $p\in B(a,r)$. Ainsi tout point de $B(a,r)$ est le centre d'une boule entièrement contenue dans $B(a,r)$ : la boule ouverte est un ouvert.

c) Réunion quelconque. Soit $U={\bigcup }_{i\in I}{B}_i$ une réunion, finie ou infinie, de boules ouvertes, et soit $m\in U$. Par définition de la réunion, il existe un indice $i_0$ tel que $m\in B_{i_0}$. D'après ce qui précède, il existe $\rho >0$ tel que $B(m,\rho )\subset B_{i_0}$, et a fortiori $B(m,\rho )\subset U$. Donc $U$ est un ouvert.

⚠️ Le rayon dépend du point, et il n'y a pas de rayon uniforme. Plus $m$ approche du bord, plus $\rho$ diminue, et il tend vers zéro. C'est exactement pour cela que la notion d'ouvert est locale : elle affirme l'existence d'une marge en chaque point, jamais d'une marge commune.

Contrôle numérique. Prenons $a=(0,0)$, $r=1$ et $m=(0,9;0)$, d'où $\rho =0,1$. Le point $(0,99;0)$ est à distance $0,09$ de $m$, donc dans $B(m,\rho )$, et sa norme $0,99$ est bien inférieure à $1$ : il est dans $B(a,1)$, comme annoncé. Le point $(1;0)$, lui, est à distance exactement $0,1$ de $m$ : il n'appartient pas à la boule ouverte $B(m,0,1)$ — et il n'appartient pas non plus à $B(a,1)$. La stricte inégalité tient les deux bouts.

Ce que l'exercice installe. L'ouvert est le seul outil de topologie du chapitre, et c'est le domaine naturel du calcul différentiel : pour dériver en un point, il faut pouvoir l'approcher de toutes les directions. Cette démonstration est le modèle de toutes celles du même genre — on exhibe le rayon, et l'inégalité triangulaire fait le reste.