Une racine carrée estimée de tête

La stratégie : reconnaître une fonction de deux variables en un point où tout est simple, et lui appliquer le développement limité d'ordre $1$.

a) Le bon point de départ. Posons $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ et travaillons au point $(3,4)$, où $f(3,4)=5$ — le triangle $3$, $4$, $5$ est exact, et c'est tout l'intérêt du choix.

b) Le gradient. En dérivant en figeant l'autre variable :

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},$$

donc $\nabla f(3,4)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=(0,6;0,8)$. On remarque au passage que $\Vert \nabla f(3,4)\Vert =1$ : la distance à l'origine croît à la vitesse $1$ dans la direction radiale, ce qui est rassurant.

c) L'approximation. Le développement limité d'ordre $1$ donne

$$f(3+h,4+k)\approx 5+0,6h+0,8k.$$

Ici $h=0,02$ et $k=-0,03$ :

$$f(3,02;3,97)\approx 5+0,012-0,024=4,988.$$

⚠️ Les deux contributions sont de signes opposés et se compensent en grande partie : $+0,012$ contre $-0,024$. Négliger l'une des deux donnerait une estimation pire que de ne rien faire du tout. C'est le propre du calcul à deux variables : l'accroissement est une somme, et chaque terme compte.

d) L'erreur. La valeur exacte est $4,988115\dots$, donc l'erreur vaut $1,2\times 10^{-4}$, soit $2,3\times 10^{-5}$ en valeur relative. Le déplacement mesure $\Vert (h,k)\Vert =\sqrt{0,02^2+0,03^2}\approx 0,036$ : l'erreur est de l'ordre de $10^{-4}$ pour un déplacement de $3,6\times 10^{-2}$, c'est-à-dire environ le carré du déplacement. C'est bien le $o(\Vert (h,k)\Vert )$ annoncé par le théorème, et il est ici quadratique.

Contrôle numérique. Trois nombres pour finir : estimation $4,988$, valeur exacte $4,988116$, écart $0,000116$. Trois décimales exactes pour deux multiplications faites de tête.

Ce que l'exercice installe. Le développement limité d'ordre $1$ n'est pas une figure de style : c'est un instrument de calcul numérique. Écrit avec le gradient, il dit que l'accroissement est le produit scalaire du gradient par le déplacement — la formule qui gouvernera tout le reste du chapitre.