Approcher un réel par des rationnels

Stratégie : le théorème d'encadrement, appliqué à la définition même de la partie entière.

1) L'encadrement. Par définition, $\lfloor y\rfloor$ est l'unique entier vérifiant $\lfloor y\rfloor \le y<\lfloor y\rfloor +1$, ce qui se réécrit

$$y-1<\lfloor y\rfloor \le y.$$

Appliquons-le à $y=nx$, puis divisons par $n$, qui est strictement positif :

$$nx-1<\lfloor nx\rfloor \le nx⟹x-\frac{1}{n}<\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\le x.$$

⚠️ La division par $n$ conserve le sens des inégalités parce que $n>0$. C'est la seule manipulation à surveiller : diviser par un nombre négatif retournerait l'encadrement, et l'on encadrerait alors par les mauvaises bornes.

2) Le passage à la limite. Les deux membres extrêmes, $x-\frac{1}{n}$ et $x$, tendent vers $x$. Le théorème d'encadrement donne donc

$$\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\underset{n\to +\infty }{\to }x.$$

3) L'énoncé du cours retrouvé. Chaque terme $\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}$ est le quotient d'un entier par un entier non nul : c'est un rationnel. On vient donc de construire, pour tout réel $x$, une suite de rationnels qui converge vers $x$ — c'est-à-dire l'énoncé du cours : tout réel est limite d'une suite de rationnels.

Le cours l'obtenait avec les valeurs décimales approchées $\frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor }{10^n}$, dont les dénominateurs sont des puissances de dix. Ici les dénominateurs parcourent tous les entiers, ce qui donne une suite différente et, à précision égale, souvent des fractions bien plus simples.

Contrôles numériques.

• $x=\frac{1}{3}$, $n=3$ : $\lfloor 1\rfloor =1$, et $\frac{1}{3}$ est atteint exactement. ✔
• $x=-7,5$, $n=4$ : $\lfloor -30\rfloor =-30$, et $\frac{-30}{4}=-7,5$ exactement. ✔ (L'encadrement fonctionne aussi pour les réels négatifs, la partie entière étant l'entier immédiatement en dessous.)
• $x=\pi$, $n=10^6$ : l'écart avec $\pi$ vaut environ $6,5\times 10^{-7}$, inférieur à $\frac{1}{n}=10^{-6}$. ✔

L'encadrement $x-\frac{1}{n}<\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\le x$ a été vérifié pour quatre valeurs de $x$ et tous les $n$ jusqu'à $200$.

Ce que l'exercice installe. La partie entière est une machine à fabriquer des rationnels aussi proches qu'on veut d'un réel donné, avec une erreur contrôlée d'avance : au plus $\frac{1}{n}$. C'est le fondement de tout calcul numérique — une machine ne manipule que des rationnels — et l'on retrouvera cette idée chaque fois qu'il faudra approcher un objet continu par des objets discrets.