Bornes supérieure et inférieure

Séparons selon la parité. Les termes pairs sont $1+\frac{1}{2k}\le \frac{3}{2}$, avec égalité pour $n=2$ : le maximum des termes pairs est $\frac{3}{2}$. Les termes impairs sont $-1+\frac{1}{2k+1}\le 0$, tous majorés par $\frac{3}{2}$ également. Donc $\sup X=\max X=\frac{3}{2}$, atteint en $n=2$.

Pour la borne inférieure : tous les termes sont $>-1$ (car $\frac{1}{n}>0$), et les termes impairs $-1+\frac{1}{2k+1}$ s'approchent de $-1$ d'aussi près que l'on veut. Donc $\inf X=-1$, non atteint : $X$ n'a pas de minimum.