La borne supérieure d'une somme de parties

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La propriété de la borne supérieure, admise par le cours, et sa caractérisation : $M=\sup X$ si et seulement si $M$ majore $X$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $x\in X$ tel que $x>M-\epsilon$. On note $\alpha =\sup A$ et $\beta =\sup B$, qui existent puisque $A$ et $B$ sont non vides et majorées.

La stratégie. Une borne supérieure ne se « calcule » pas : elle s'encadre, par deux inégalités — l'une dit que $\alpha +\beta$ majore $A+B$, l'autre qu'aucun réel plus petit ne la majore. Ce sont les deux points de la caractérisation.

a) Un majorant. Comme $A$ et $B$ sont non vides, on peut choisir $a_0\in A$ et $b_0\in B$ : $a_0+b_0\in A+B$, qui n'est pas vide. Tout élément de $A+B$ s'écrit $a+b$ avec $a\in A$ et $b\in B$ ; par définition d'un majorant, $a\le \alpha$ et $b\le \beta$, et en ajoutant, $a+b\le \alpha +\beta$. Ainsi $\alpha +\beta$ majore $A+B$, qui, non vide et majorée, admet une borne supérieure ; et comme celle-ci est le plus petit des majorants : $$\sup (A+B)\le \alpha +\beta .$$

b) Le plus petit des majorants. Soit $\epsilon >0$. La caractérisation de $\alpha =\sup A$, appliquée avec $\frac{\epsilon }{2}$, fournit $a\in A$ tel que $a>\alpha -\frac{\epsilon }{2}$ ; celle de $\beta$ fournit de même $b\in B$ tel que $b>\beta -\frac{\epsilon }{2}$. En ajoutant : $$a+b>\alpha +\beta -\epsilon ,$$ et $a+b$ est un élément de $A+B$. Ainsi, pour tout $\epsilon >0$, le réel $\alpha +\beta -\epsilon$ ne majore pas $A+B$. Avec le a), $\alpha +\beta$ vérifie les deux points de la caractérisation : $$\sup (A+B)=\sup A+\sup B.$$

Le point délicat. On a demandé à chacune des deux parties une approximation à $\frac{\epsilon }{2}$ près, et non à $\epsilon$ près : deux erreurs s'ajoutent, et c'est leur somme qui doit rester inférieure à $\epsilon$ — le partage qu'on retrouve dans la limite d'une somme de deux suites.

c) La même égalité, par les suites. Soit $n\in \mathbb{N}$. La caractérisation de $\alpha$ avec $\epsilon =\frac{1}{n+1}$ fournit un élément de $A$, que l'on note $a_n$, tel que $a_n>\alpha -\frac{1}{n+1}$ ; comme $\alpha$ majore $A$, on a aussi $a_n\le \alpha$. Ainsi, pour tout $n$, $$\alpha -\frac{1}{n+1}<a_n\le \alpha .$$ Les deux membres extrêmes tendent vers $\alpha$ : par le théorème d'encadrement, $a_n\to \alpha$. On construit de même une suite $(b_n)$ d'éléments de $B$ qui converge vers $\beta$.

Pour tout $n$, $a_n+b_n$ appartient à $A+B$, donc $a_n+b_n\le \sup (A+B)$. Par les opérations sur les limites, $a_n+b_n\to \alpha +\beta$, et le passage à la limite dans une inégalité large donne $$\alpha +\beta \le \sup (A+B).$$ Avec le a), on retrouve l'égalité. La seconde condition de la caractérisation s'est traduite en un énoncé sur les suites : la borne supérieure est la limite d'une suite d'éléments de la partie.

d) Le plus grand élément. Si $A$ et $B$ ont chacune un plus grand élément, ce sont leurs bornes supérieures : $\alpha \in A$ et $\beta \in B$. Alors $\alpha +\beta$ appartient à $A+B$ et, d'après b), c'est sa borne supérieure : c'est donc un plus grand élément de $A+B$.

Réciproquement, supposons que $A+B$ ait un plus grand élément. Il est égal à sa borne supérieure $\alpha +\beta$, et, comme tout élément de $A+B$, il s'écrit $a+b$ avec $a\in A$ et $b\in B$. On a $a\le \alpha$ et $b\le \beta$, donc les deux réels $\alpha -a$ et $\beta -b$ sont positifs ; et leur somme vaut $$(\alpha -a)+(\beta -b)=(\alpha +\beta )-(a+b)=0.$$ Une somme de deux réels positifs n'est nulle que si chacun est nul : $a=\alpha$ et $b=\beta$. Donc $\alpha \in A$ et $\beta \in B$ : chacune des deux parties a un plus grand élément. Ainsi, avec $A=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, de borne supérieure $1$ non atteinte, et $B=[0,1]$, la partie $A+B$ a pour borne supérieure $2$, mais pas de plus grand élément.

Ce que l'exercice installe. Une borne supérieure s'établit toujours en deux inégalités : « c'est un majorant », puis « c'est le plus petit », la seconde par un $\epsilon$ partagé ou par une suite d'éléments de la partie — deux langages équivalents, entre lesquels il faut savoir passer. Ce geste est celui de tout le chapitre : le théorème de la limite monotone identifie la limite d'une suite croissante et majorée à la borne supérieure de ses termes, et c'est encore la borne supérieure qui, à travers les suites adjacentes, fondera au chapitre suivant la démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires.