mathématiques (PCSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La moyenne arithmético-géométrique

Nombres réels et suites numériques · C. Suites monotones et suites adjacentes · niveau 2

Énoncé

Soient $a_{0}$ et $b_{0}$ deux réels tels que $0 < a_{0} < b_{0}$ . On définit, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} .$

a) Montrer que les deux suites sont bien définies, et que pour tout $n$ : $a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n}$ .

b) Montrer que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ . Conclure que les deux suites sont adjacentes ; on note $M (a_{0}, b_{0})$ leur limite commune, la moyenne arithmético-géométrique de $a_{0}$ et $b_{0}$ .

c) Montrer que $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2}$ , puis que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{0}}$ .

d) On prend $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 2$ . Montrer que $b_{4} - a_{4} < 1 0^{- 10}$ , alors que la seule majoration du b) demanderait $34$ itérations pour garantir cette précision. En déduire une valeur de $M (1, 2)$ à $1 0^{- 10}$ près.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Pour des suites adjacentes, trois choses à établir : l'une croît, l'autre décroît, leur écart tend vers $0$ . Une seule identité fait tout le travail : pour deux réels $a, b > 0$ , $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{a - 2 a b + b}{2} = \frac{( b - a ) ^{2}}{2} .$ C'est l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique, avec la valeur exacte de l'écart.

a) La chaîne des inégalités. Montrons d'abord par récurrence que, pour tout $n$ , les réels $a_{n}$ et $b_{n}$ sont définis et vérifient $0 < a_{n} \leq b_{n}$ . C'est vrai au rang $0$ par hypothèse. Si c'est vrai au rang $n$ , alors $a_{n} b_{n} > 0$ , donc $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}$ est défini et strictement positif ; $b_{n + 1}$ est défini ; et l'identité ci-dessus, appliquée à $a_{n}$ et $b_{n}$ , donne $b_{n + 1} - a_{n + 1} \geq 0$ . La propriété est héréditaire.

Les trois inégalités s'enchaînent alors :

$a_{n} \leq a_{n + 1}$ , car $a_{n + 1} = a_{n} b_{n} \geq a_{n} a_{n} = a_{n}$ , par $b_{n} \geq a_{n}$ et la croissance de la racine carrée ;
$a_{n + 1} \leq b_{n + 1}$ , c'est ce qu'on vient d'établir ;
$b_{n + 1} \leq b_{n}$ , car $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \leq \frac{b _{n} + b _{n}}{2} = b_{n}$ .

$(a_{n})$ est croissante et $(b_{n})$ est décroissante.

Le point délicat. Les inégalités $a_{n} \leq a_{n + 1}$ et $b_{n + 1} \leq b_{n}$ utilisent $a_{n} \leq b_{n}$ au même rang : il fallait l'avoir établie d'abord, pour tout $n$ , par la récurrence — sans quoi on se servirait de ce qu'on est en train de démontrer.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), j'utilise l'identité $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2}$ de la stratégie. Mais je ne vois pas comment la comparer à $\frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ , où il n'y a pas de racines.

Les deux expressions ne sont pas écrites dans le même langage. Comment réécrire $b_{n} - a_{n}$ pour y voir apparaître le facteur $b_{n} - a_{n}$ ?

Élève

$b_{n} - a_{n} = (b_{n} - a_{n}) (b_{n} + a_{n})$ . Il s'agit donc de comparer le carré de $b_{n} - a_{n}$ à ce produit.

C'est cela. Quelle inégalité entre $b_{n} - a_{n}$ et $b_{n} + a_{n}$ utilises-tu, et pourquoi le signe de $b_{n} - a_{n}$ compte-t-il au moment de multiplier ? Comment conclus-tu ensuite à l'adjacence ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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