La moyenne arithmético-géométrique

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · C. Suites monotones et suites adjacentes

Énoncé

Soient $a_{0}$ et $b_{0}$ deux réels tels que $0 < a_{0} < b_{0}$ . On définit, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} .$

a) Montrer que les deux suites sont bien définies, et que pour tout $n$ : $a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n}$ .

b) Montrer que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ . Conclure que les deux suites sont adjacentes ; on note $M (a_{0}, b_{0})$ leur limite commune, la moyenne arithmético-géométrique de $a_{0}$ et $b_{0}$ .

c) Montrer que $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2}$ , puis que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{0}}$ .

d) On prend $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 2$ . Montrer que $b_{4} - a_{4} < 1 0^{- 10}$ , alors que la seule majoration du b) demanderait $34$ itérations pour garantir cette précision. En déduire une valeur de $M (1, 2)$ à $1 0^{- 10}$ près.

Corrigé

La stratégie. Pour des suites adjacentes, trois choses à établir : l'une croît, l'autre décroît, leur écart tend vers $0$ . Une seule identité fait tout le travail : pour deux réels $a, b > 0$ , $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{a - 2 a b + b}{2} = \frac{( b - a ) ^{2}}{2} .$ C'est l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique, avec la valeur exacte de l'écart.

a) La chaîne des inégalités. Montrons d'abord par récurrence que, pour tout $n$ , les réels $a_{n}$ et $b_{n}$ sont définis et vérifient $0 < a_{n} \leq b_{n}$ . C'est vrai au rang $0$ par hypothèse. Si c'est vrai au rang $n$ , alors $a_{n} b_{n} > 0$ , donc $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}$ est défini et strictement positif ; $b_{n + 1}$ est défini ; et l'identité ci-dessus, appliquée à $a_{n}$ et $b_{n}$ , donne $b_{n + 1} - a_{n + 1} \geq 0$ . La propriété est héréditaire.

Les trois inégalités s'enchaînent alors :

$a_{n} \leq a_{n + 1}$ , car $a_{n + 1} = a_{n} b_{n} \geq a_{n} a_{n} = a_{n}$ , par $b_{n} \geq a_{n}$ et la croissance de la racine carrée ;
$a_{n + 1} \leq b_{n + 1}$ , c'est ce qu'on vient d'établir ;
$b_{n + 1} \leq b_{n}$ , car $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \leq \frac{b _{n} + b _{n}}{2} = b_{n}$ .

$(a_{n})$ est croissante et $(b_{n})$ est décroissante.

Le point délicat. Les inégalités $a_{n} \leq a_{n + 1}$ et $b_{n + 1} \leq b_{n}$ utilisent $a_{n} \leq b_{n}$ au même rang : il fallait l'avoir établie d'abord, pour tout $n$ , par la récurrence — sans quoi on se servirait de ce qu'on est en train de démontrer.

b) L'écart est au moins divisé par deux. L'identité, appliquée à $a_{n}$ et $b_{n}$ , donne exactement $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2} .$ Écrivons par ailleurs $b_{n} - a_{n} = (b_{n} - a_{n}) (b_{n} + a_{n})$ . Comme $0 \leq b_{n} - a_{n} \leq b_{n} + a_{n}$ , on obtient, en multipliant par le réel positif $\frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ , $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ( b _{n} + a _{n} )}{2} = \frac{b _{n} - a _{n}}{2} .$ Une récurrence immédiate donne alors $0 \leq b_{n} - a_{n} \leq \frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{n}}$ , et le membre de droite tend vers $0$ (suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ) : par encadrement, $b_{n} - a_{n} \to 0$ .

$(a_{n})$ croissante, $(b_{n})$ décroissante, $b_{n} - a_{n} \to 0$ : les deux suites sont adjacentes. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite $M (a_{0}, b_{0})$ , et pour tout $n$ : $a_{n} \leq M (a_{0}, b_{0}) \leq b_{n} .$

c) L'écart est en réalité élevé au carré. On a vu l'égalité $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2}$ . Écrivons cette fois $b_{n} - a_{n} = \frac{b _{n} - a _{n}}{b _{n} + a _{n}}$ , par la quantité conjuguée : $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2 ( b _{n} + a _{n} ) ^{2}} .$ Or $(a_{n})$ est croissante, donc $a_{n} \geq a_{0}$ , et $b_{n} \geq a_{n} \geq a_{0}$ ; ainsi $b_{n} + a_{n} \geq 2 a_{0}$ , puis $(b_{n} + a_{n})^{2} \geq 4 a_{0}$ . En minorant le dénominateur : $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{0}} .$ L'écart au rang $n + 1$ est majoré par une constante fois le carré de l'écart au rang $n$ .

d) Le compte, pour $a_{0} = 1$ et $b_{0} = 2$ . Au premier rang, $a_{1} = 2$ et $b_{1} = \frac{3}{2}$ , donc $b_{1} - a_{1} = \frac{3}{2} - 2 < 0, 086$ , puisque $2 > 1, 414$ . Avec $a_{0} = 1$ , la majoration du c) donne successivement $b_{2} - a_{2} \leq \frac{0 , 08 6 ^{2}}{8} < 9, 3 \cdot 1 0^{- 4}, b_{3} - a_{3} \leq \frac{( 9 , 3 \cdot 1 0 ^{- 4} ) ^{2}}{8} < 1, 1 \cdot 1 0^{- 7},$ puis $b_{4} - a_{4} \leq \frac{( 1 , 1 \cdot 1 0 ^{- 7} ) ^{2}}{8} < 1, 6 \cdot 1 0^{- 15} < 1 0^{- 10} .$ Par la seule majoration du b), on aurait $b_{n} - a_{n} \leq 2^{- n}$ , et $2^{- n} < 1 0^{- 10}$ exige $2^{n} > 1 0^{10}$ ; comme $2^{33} = 8589934592 < 1 0^{10} < 2^{34}$ , il faudrait trente-quatre itérations, là où quatre suffisent.

Enfin $a_{4} \leq M (1, 2) \leq b_{4}$ et $b_{4} - a_{4} < 1 0^{- 10}$ : chacune des deux valeurs $a_{4}$ et $b_{4}$ donne $M (1, 2)$ à $1 0^{- 10}$ près, soit $M (1, 2) \approx 1, 456791031 0.$ Les écarts réels valent $b_{1} - a_{1} \approx 8, 6 \cdot 1 0^{- 2}$ , $b_{2} - a_{2} \approx 6, 3 \cdot 1 0^{- 4}$ , $b_{3} - a_{3} \approx 3, 4 \cdot 1 0^{- 8}$ et $b_{4} - a_{4} \approx 1, 0 \cdot 1 0^{- 16}$ : le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Ce que l'exercice installe. Deux suites adjacentes donnent, à chaque rang, un encadrement de leur limite — c'est un algorithme de calcul, dont la vitesse dépend de la finesse de l'inégalité écrite sur l'écart : divisé par deux, convergence géométrique ; élevé au carré, convergence quadratique, où les décimales doublent. (Gauss, qui a étudié cette moyenne en 1799, a montré qu'elle donne la période exacte du pendule simple : lâché sans vitesse sous un angle $θ_{0}$ , un pendule de longueur $L$ oscille avec la période $\frac{2 π L / g}{M ( 1 , c o s \frac{θ _{0}}{2} )}$ — résultat admis ici. Pour $θ_{0} = 9 0^{\circ}$ , c'est environ 18 % de plus que la période des petites oscillations.)

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